第一讲 　曲线论

(一) 向量代数复习

一、向量运算法则及主要定理

1.量的和与差(见P2)        

2.向量的数乘(见P2)定理a∥ ba = λb   

3.向量的点乘a·b(见P4)定理a⊥ba•b = 0

4.向量的叉乘(见P6)定理 a ∥b  a  b = 0

根据以上四种运算，另可做混合积（a, b, c）= ( a  b) •c，定理  a， b， c共面 （a, b, c）=0 

注1以后指a•a（点乘）．

注2  四个常用定理都是充要条件，左边表示两矢量几何意义，右边表示运算．这显示了用计算方法证明几何命题的功效．

二、给出矢量坐标后向量运算方法

若 a =      b =

1. ab = ()+ (+ (

2．a•b =

3. ab=

常用结果：

(1)

(2) cos∠(a,b) =

(3)过点，平行于方向a = {X, Y, Z}的点向式直线方程：

a. 向量式方程为ρ= a

b. 坐标式方程为:

(4)过点 ，垂直于方向n =的平面法式方程：

a. 向量式方程为

b. 坐标式方程为:

(5) 过点，平行于方向u，v的平面的点位式方程：

a. 向量式方程为

b. 坐标式方程为

(二)  向量函数

第一节中讲的是常向量，本节是变向量r(t) = { x(t), y(t), z(t) }，它符合常向量的运算，另有一些新的运算如下：

1.向量函数的极限  

2.向量函数的微商  

3.向量函数的微分    

4.向量函数的Taylor公式  

5.向量函数的积分   

以上五种运算事实上是对向量函数中第一坐标x(t)，第二坐标y(t)以及第三坐标z(t)分别施加同种运算，作为结果的对应坐标即可．常用的是求导（微商运算），如：r′(t) = { x′(t), y′(t), z′(t) }．

命题6 向量函数r(t)具有固定长r′⊥ r．

P22习题5  r(t)具有固定方向r′∥r．

以上两结论是今后解题常用结果．

命题7 单位向量函数r(t)（即）关于t的旋转速度等于其微商的模．

(三) 曲线的概念

一、定义 

如果一个开的直线段到三维欧氏空间内的对应是一一的，双方连续的在上映射，则称这种映射的象为简单曲线段． 

方程形式为：

或

．

如圆柱螺线方程为：

二、光滑曲线、曲线的正常点

曲线 中三个坐标函数是阶连续可微的函数，称这曲线为类曲线，时，称为光滑曲线．

给出类曲线，对于曲线上一点有，称这一点为曲线上正常点．曲线上所有点都为正常点，称曲线为正则曲线．

三、曲线的切线和法面

定义  给出曲线上一点P，点Q是点P的邻近一点，若Q点沿曲线趋近于点P，割线PQ有极限位置,称此极限位置为曲线在点P的切线．为切向量．切线方程为：   

+．

法面  经过切点而垂直于切线的平面为法面．方程为：

[]= 0．

四、曲线的弧长、自然参数

弧长公式  s(t)=.  s关于t是单调递增函数，因此有，曲线方程变为 ，s称为曲线的自然参数．

命题  t为曲线自然参数.

(四) 空间曲线

一、空间曲线的密切平面

定义　空间曲线上P点的切线和P点的邻近一点Q可作一平面δ，当Q点沿着曲线趋于P时，平面δ的极限位置π称为曲线在P点的密切平面空间曲线的密切平面．

方程　

几何意义　过曲线一点切线的所有平面中最贴近曲线的平面．  

二、空间曲线的基本三棱形

单位切向量

主法向量

副法向量

曲线在任一点处都有互相垂直的三向量，过该点可分别作平行于三向量的三直线，分别为切线、主法线、副法线，方程分别为

，

，

．

三线两两决定一平面，分别为法面、从切面、密切面，方程分别为

,

由此组成了基本三棱形．

对于一般参数曲线，基本向量计算见P43．

三、空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Prenet）公式

1．曲率

(1)定义：空间曲线（C）在P点的曲率为

其中Δs为P点及其邻近点P间的弧长，为曲线在点P和P的切向量的夹角． 

(2)几何意义：曲线的切向量对于弧长的旋转速度，刻画了曲线的弯曲程度． 如：直线 ． 

(3)计算公式:

2．挠率 

(1)定义：曲线(C)在Ｐ点的挠率为

(2)几何意义：绝对值是曲线的副法向量（或密切面）对于弧长的旋转速度，刻画了曲线的扭转程度． 如：

平面曲线

(3)计算公式：

3. Frenet公式：

四、空间曲线在一点邻近的结构

主要结果：τ>0 右旋曲线    τ<0  左旋曲线 

五、空间曲线的基本定理

(详见P57）简述为： 给定曲率和挠率的曲线，除空间位置差别外，是唯一确定的．

第二讲　曲面论

（一）曲面的概念

一、定义

平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，在上的，双方连续映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面．

方程    

或 

．

如： 球面方程 

，   

．

若令常数得到曲面上一条曲线称为线；同理，令常数得到曲面上一条线, 线，线称为曲面上坐标曲线．

二、光滑曲面、曲面的切平面和法线

曲面中三坐标函数有直到阶的连续偏微商，称曲面为阶正则曲面；特别时又称为光滑曲面．

曲面上点处两条坐标曲线的切向量如果不平行，即在点处不等于零，则称为曲面上正常点．

命题2  曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量和和所决定的平面上．

由此，过平面上一点（正常点）处所有曲线的切线所在平面称为曲面在这一点的切平面．方程为：

．

垂直于切平面的方向称为曲面在该点的法方向，法向量为．过该点平行于法方向的直线称为曲面在该地的法线，方程为:

.

（二）曲面的第一基本形式

一、曲面的第一基本形式  

曲面S：

上曲线C：

的方程还可写为 

，

由P36（1.12）弧长微分，有

，

得

称为曲面的第一基本形式，其中E =为曲面的第一类基本量，反映的是曲面的内蕴性质．

下面给出第一基本形式的应用：

1.曲面上曲线弧长 

2.曲面上两方向的交角   两方向交角为则有

特别地，线和线切方向为．由此坐标曲线正交F=0．

3.曲面域的面积  

σ的面积=

4.等距变换

定义  两曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）.

定理  两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，它们具有相同的第一基本形式．

5. 保角变换

定义  两曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换．(保形变换).

定理  两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例．即第一类基本量成比例．

(三) 曲面的第二基本形式

一、曲面的第二基本形式

Ⅱ=nr，

(其中,,)

称为曲面的第二基本形式． 它的系数称为曲面的第二类基本量，反映的是曲面的外蕴性质．曲面的第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，刻画了曲面在空间中的弯曲性．

二、曲面上曲线的曲率

曲面在一点处不同方向弯曲程度一般不同，所以利用曲面上曲线----法截线（定义见P121）的弯曲程度来研究曲面不同方向的弯曲性．而法曲率（定义见P122）的绝对值就是法截线的曲率．

三、杜邦（Dupin）指标线

法曲率和它对应的方向之间一个特殊变化关系形成的曲线即杜邦（Dupin）指标线（见P123）为二次曲线，根据二次曲线的形状将曲面上点分成三大类，即椭圆点，双曲点和抛物点．

四、曲面的渐近方向和共轭方向

满足Ⅱ= 0 的方向称为曲面的渐近方向；曲面上曲线，如果它上面每一点的切方向都是渐近方向，则曲线称为渐近曲线．如曲面上若有直线，则直线是曲面上渐近曲线．

命题  曲面的曲纹坐标网是渐近网．

五、曲面的主方向和曲率线

曲面上一点处两个既正交又共轭的方向称为主方向．主方向满足的条件为

曲面上曲线，如果它上面每一点的切方向都是主方向，则曲线称为曲率线．如球面和平面上每一条曲线都是曲率线．

命题  曲面的曲纹坐标网是曲率线网

主方向的判定  (d)是主方向．

六、高斯曲率和平均曲率

一点处各个方向的法曲率的最大值和最小值称为主曲率．两个主曲率的乘积为高斯曲率 ；两个主曲率的平均值为平均曲率.

的曲面为极小曲面；的曲面为第四节中的可展曲面．

(四) 直纹面和可展曲面

一、直纹面

由直线的轨迹所生成的曲面称为直纹面．给定导线, 过导线上每点直母线方向为，则方程为． 

若常矢量，直纹面为柱面．

若常矢量，直纹面为锥面．

若∥，则直纹面为切线曲面．

二、可展曲面

   定义  沿一条直母线有同一切平面的直纹面称为可展曲面．它包括了柱面、锥面和切线曲面．

   命题  曲面为可展曲面,,．

   命题  曲面为可展曲面曲面是单参数平面族的包络．

   命题  曲面为可展曲面．

   命题  曲面为可展曲面可与平面等距等价．

(六) 曲面上的测地线

一、测地曲率

（其中）称为曲面上曲线的测地曲率．测地曲率的绝对值表示该曲线在这点对曲面的切平面上的正投影曲线的曲率．

法曲线、曲线曲率、测地曲率三者关系: 

二、测地线

定义  曲面上一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则曲线为测地线．如曲面上若有直线，直线为曲面的测地线；球面上大圆是球面的测地线．

命题  曲线是测地线． 

测地线性质 

a.连结曲面上邻近的两点的曲线中弧长最短的是测地线段，即测地线段为短程线．

b.过曲面上任一点，给定一个切方向，以此方向为切方向的曲面上所有曲线在该点处曲率最小的是测地线，即测地线为最“直”的线．