借助向量微积分及空间坐标架，去解决各种空间曲线和曲面的有关几何问题，这就是微分几何．学习微分几何时，时常感到题难做，特别是题难证明．其实，任何学科，都有其自身规律，微分几何也不例外．下面就分别对微分几何的学习提些建议．
一、曲线论
一般来说，解题规律，应依赖于相应知识的内在规律．用向量函数来表示空间曲线．首先，它应具有向量函数的特性，遵循向量函数的运算性质．
例如：为定长向量函数的充要条件是
为定向向量函数的充要条件是
单位向量函数在一点t的旋转速度为，即若=1，则=；或者说单位向量函数在t点的临近的变换率等．这些向量函数的特征，必对空间曲线的研究形成根本性的制约．再考虑到在一定标架下来研究曲线的几何性质，标架应是单位向量且易于从中求得．为此，将一般参数的空间曲线，转化成自然参数s的空间曲线的形式．这样不仅使曲线的弧长s成为曲线方程的参数，而且求导就易得曲线上一点P的标架，构成曲线上一种动态的基本三棱形．进而由单位向量的变化率（旋转速度）得到曲率，由单位副法向量的变化率（旋转速度）得到挠率的绝对值，即，在求k及的过程中，又相应的产生了伏雷内公式：
它表明三棱形的标架的各阶导数（注意不只是一阶），均是标架的线性组合，且其中的系数，只能是k及的函数．这种带本质性的归结，正是曲线论的核心规律，并且由曲线论的基本定理，对这种本质规律作了肯定．
对曲线论中的题的解法归纳如下：
（1）空间曲线有唯一确定的k和，用这两个几何量，可以去衡量曲线在一点邻近的弯曲程度和扭曲程度．反之，由一对，可唯一确定一条空间曲线．
（2）曲线，总是离不开，．而且只要“碰见问题就求导”，就会出现以及更高阶的导数“有点就用伏雷内公式”，这就使问题回到的关系中去．因此，“碰见问题就求导”、有点就用伏雷内公式”，应是曲线论普遍的解题规律．
曲线论中的题型，主要有三种类型：
（1）求曲线的基本三棱形、弧长、曲率、挠率等．这类题，主要是记住和的相应求，的公式，直接利用公式就可求得．这类常规题，应是研究空间曲线及有关问题的出发点．
（2）证曲线是直线、平面曲线、或证空间曲线有某种性质．这种类型题，首先要掌握好，曲线是直线、平面曲线等充要条件．在应用这些充要条件的过程中，要应用“碰见问题就求导、有点就用伏雷内公式”的规律．
例 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这曲线是直线或平面曲线．
证明：设曲线为，切向量为，定向量为．
∵法平面的法向量为，依题意为
两边对s求导，得
当k=0时，曲线为直线．
当k≠０时，，
∵均在法平面上，且，
∴（即不能垂直）
∴，曲线为平面曲线．
从上面例题可以看出“碰见问题就求导”是指题中所给的数学问题，一般是题设条件或碰见的数学问题．并要将这些“问题”要“数量”化，即要将问题转换成数学关系式，才能去求导．“有点就用伏雷内公式”是指有以及它的高阶导数，就用公式．再要结合具体问题中的有关条件去推证结论．
（3）两曲线上点与点有一一对应关系，证明这样的两条曲线具有某些性质．这种题型一般说较难，但只要牢记：曲线c：的参数s是曲线c的弧长，而对于曲线：来讲参数s只是一般参数，不是曲线的弧长，因此对的求导，应是，且．进而再应用“碰见问题就求导、有点就用伏雷内公式”这就不难解决了．
例 设在两条曲线c和的点之间，建立了一一对应关系，且对应点的切线平行．
求证：对应点的主法线及副法线也分别平行．
证明：曲两边对s求导
∥
由且∥，∥
∥．
综上，可见看出，“碰见问题就求导”、有点就用伏雷内公式”是曲线论解题的总的规律．在应用这个规律时，“碰见问题”应是数学问题且应将此问题转化成相应的关系式，才好“就求导”．对关系式的求导，可能会求，．“有点用公式”是对以及的高阶导数，均在连续地用公式．再结合各种充要条件、特殊曲线性质，曲线论的题就不难解决了．
二、曲面论
在曲面论中，用二元向量函数来表示曲面．曲面上的曲线，则用复合函数
来表示．从研究曲面上在一点邻近的几何性质出发，我们逐渐发现，曲线的内蕴性质依赖于第一基本形式：；曲面的外蕴性质依赖于第二基本形式：Ⅱ=．即曲面上一点邻近的几何性质，完全依赖于这点的六个基本量E，F，G，L，M，N以及过这点的一个方向（d）：．点动它们变，它们确定曲面上一点的几何性质．进而点动形成曲面上的各种曲线，线动形成不同的曲面．这必导致曲面论中，求各种点、曲线、曲面的方程，以及求曲面上一点临近各种几何性质的题型．这种题型的解题规律是：有曲面方程，首先求其六个基本量E，F，G，L，M，再代入相应的点、曲线、曲面方程以及各种几何量的关系式中．
例1求曲面上的曲率线方程．
解：
E=
G=
F=
L=
M=
代入曲率线方程
得
两边积分，
为所求曲率线方程．
说明：先求基本量E、F、G、L、M、N，然后代入曲率线方程，解微分方程得曲率线．
例2 求正螺面上曲线的正交轨线．
解：由，可以求得E=1，F=0，G=．
已知曲线可为代入正交条件，得：
为所求正交轨线的微分方程．
说明：求基本量E、F、G代入正交条件．
例3 求正螺面的主曲率、高斯曲率和平均曲率．
解：由.
求得E=1，F=0，G=
L=N=0，M=
代入主曲率关系式：
为主曲率；
高斯曲率：
平均曲率：
说明：求基本量E、F、G、L、M、N代入主曲率方程，利用，
综上，这类题型解题规律比较简单，关键在于掌握曲面上各点、线、面的方程特征，求各种轨线，各种计算几何量的公式及各种几何量间的关系式．
在研究曲面论中，还发现，作为数形转化的“桥”和“船”．它的标架是三棱形（P；），
且都建立在不同曲线构成的坐标网上．这必导致研究曲面上个种不同曲线及其相互间的关系，各种坐标网机器在该网下曲线呈现的几何性质．故作为这部分知识的题型将是：确定曲面上各种不同的坐标网，及各种不同曲线的性质，求曲面上某些几何性质或某种几何量之间关系．
例求证：球面上的参数网为渐近网，且一簇渐近曲线为直线，另一簇是螺旋线．
证明：由.
∵L=N=0
∴曲面上的参数网为渐近网
又u线（常数）
∴为一簇直线
另一簇v线
为一簇螺旋线．
综上，解这种类型题的规律是：由曲面的向量方程首先求出六个基本量，再用各种坐标网成立的必要条件，或利用各种曲线的性质，特别是充要条件，并且对曲面上的曲线，还是要用“碰见问题就求导，有点就得用公式”的规律．
在研究曲面中，还会发现曲面上有诸多的曲率，求这些曲率及它们之间的各种关系是研究曲面的重要课题，是曲面上几何性质的重要表征．这必导致以各种曲率及其相互关系表征曲面几何性质的一类题型．解这类题型的规律是：由曲面的向量方程求其基本量，再利用它们之间的各种关系公式去解决有关的问题．
