第一章　初等积分法

一、内容提要、学习目的和要求

本节介绍了从数学、力学、化学、电磁学、生物学中所产生的一些微分方程及微分方程的基本概念．

通过本节学习要求学员了解微分方程来源于生产实践，明确微分方程所研究的基本问题；要求学员了解微分方程建立的过程及方法；掌握微分方程的基本概念．例如方程阶的概念、线性方程与非线性方程的概念，达到熟练地、准确地会判定一个微分方程的类型．还要掌握方程的解、通解、特解等概念．

二、学习方法及学习中注意的几个问题

学员学习每章时，可把教材和辅导书二者结合进行．独立地作完作业后，再参阅习题解答．

学习微分方程首先必须了解它产生于生产实践，是人们探索自然界发展规律结果．同时人们又利用这些规律，使它成为改造自然界的重要工具．微分方程自十七、十八世纪由于人们研究力学、光学、天文学开始，发展到今天成为数学的一个重要分支，成为其它数学分支的基础，例如偏微分方程、数理方法、变分法等分支的基础．同时它们又是力学、物理学、天文学、化学、生物学及其它自然科学、工程技术进一步研究的必备工具．因此我们在实现四化和为培养新的一代都需要学习它．

下面就本节的一些基本概念容易混淆的地方作些解释.  对学员掌握概念或许有所帮助．

1. 什么叫微分方程?

凡含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程，称为微分方程．

这里应注意，在一个微分方程中，不一定明显地出现自变量和未知函数，但未知函数的导数一定要出现．便如是一个微分方程，但它并未出现自变量和未知函数而，它是一个代数方程，不是一个微分方程．因此区分一个方程是否是微分方程，关键在于方程中是否出现未知函数的导数．

2. 微分方程的阶

微分方程的阶是在微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数．

这样规定的好处在于一个微分方程的阶是确定的．在一个微分方程中未知函数的导数可能有一阶、二阶，一直到n阶，那么该微分方程的阶就应是n．

3. 关于线性和非线性微分方程

线性微分方程是本教材讨论的重点，因此如何判断一个微分方程是线性方程就十分重要．

如果微分方程

的左端为y及，…的一次有理整式，则称该方程为n阶线性微分方程．否则称为非线性方程．因此，n阶线性微分方程一般形式应为

…

其中…是x的已知函数．

方程不是线性方程，虽然是一次的，但未知函数y并不是一次的．再如微分方程，它是一阶非线性微分方程．虽然未知函数是y是一次的，但未知函数的导数并不是一次的．

微分方程是一个隐方程（导数未解出），而函数关系F是变元的已知函数，一般地它关于y和不一定是一次有理整式，故该方程是一阶微分方程的一般形式．

4. 关于微分方程的解、通解和特解

如果把某一个函数代入一个微分方程后，使该方程成为一个恒等式，那么这个函数称为该微分方程的一个解．

例如，在微分方程中，取，代入方程左边，得

故也都是原方程的解．

由此可知，微分方程的解并不只有一个，而是存在着无穷多个函数，同时都是它的解．所以，一个微分方程的全部解构成一个函数族．

从上例形式上看，方程的解加上一个任意常数C后还是解．如果认为这是一般规律，那就不对了．例如微分方程取代入微分方程左边得

故是原方程的一个解．

但对任意一个常数，函数就不是原微分方程的解．而函数倒是原方程的解．这个微分方程的解也有无穷多，它们也构成一个函族．

为了获得符合实际工作要求的完全确定的解，仅有微分方程是不够的，还必须附加一定的条件，这些条件称为定解条件．

而在定解条件中，比较常见，比较重要的一种，就是已知物体在运动的某一时刻（如t=0）所处的状态．如已知初始位移、初始速度等，这类定解条件称为初值条件．附加了初值条件的微分方程求解问题，称为初值问题．本教材仅讨论初值问题．

一般地说，一阶微分方程只需要一个初值条件，n阶微分方程应有n个初值条件．一个初值条件．一个初值问题的求解过程应当分为两步：首先求出方程的带有和方程阶数相同个数的任意常数的解的表达式；其次，把初值条件代入，确定出其中任意常数的值，这样得到的解称为初值问题的特解．

第一步是求出方程的通解；第二步求初值问题的特解．

而方程的通解通常理解为在一个n阶常微分方程的解的表达式中，如果包含n个任意常数它们是相互独立的（不能相互合并），使对在一定范围内任意指定的n个初始条件，我们都能适当选定这些任意常数的值，而获得该初值问题的特解．这个解的表达式，称为n阶微分方程的通解．那么，又如何判定方程的通解呢？方程函数是否通解呢？用直接验证的方法可知.

第一，不论C为何值，都是方程的解．

第二，对于任意给定的初始条件

,

其中，，都有即. 此时，相应的解，就能满足所给的初始条件．因此是方程在（x,y）全平面上的通解．而是方程满足初始条件的特解．

微分方程的基本问题是求解及研究解的各种属性，当然首要的问题是求解．如前所述，如果能找出方程的通解的表达式，就能适当的选定任意常娄而得到所求的特解．同时利用这种解的表达式就可以研究解的某些属性．

对于微分方程解的表达式，起初人们总想用初等函数来表达方程的解，但是即是最简单的一阶方程，也是不一定能办到的．

例如方程的解就不能用初等函数表示出来，因为该初等函数它的原函数就不能初等函数表示出来．

后来，人们提出，用“初等函数或初等函数的积分”形式来表达方程的解，这时上述方程的解可以用公式

给出．以后，我们提到微分方程的解，总是理解为可用“初等函数或初等函数的积分表达”的解．

另外，求方程的通解，在微分方程发展历史的一个时期中，曾是人们关心的问题，也取得了一系列重大成果．但后来人们发现，绝大多数的微分方程都求不出通解，特别是在1841年Liouville（刘维尔）证明了一个事实，即Riccati（黎卡提）方程

除了某些特殊情形外，对一般的函数P、Q、R来说，其通解不能用初等函数或初等函数的积分来表达．更由于物理学、力学上所提出的微分方程问题，大都要求满足某种附加条件（如初值条件、边值条件等）的特解，这样人们才由求通解而改变从事研究定解问题（如初值问题、边值问题），这就形成对微分方程一般理论的研究．这些基本理论的研究，对求解和研究解的属性无疑都是十分重要的．希望学习时应给予重视．

（二）一阶导数已解出的微分方程类型及其解法途径

1．变量分离方程

或

分离变量即可求解．

2．可化为分离变量的方程

（1）齐次方程令，可化为变量分离的方程求解．

（2）可化为齐次方程

当时，可化为齐次方程求解．

当不全为零时，但，我们令　，可将方程化为变量分离方程求解．

当不全为零时，但，令变换

其中，是待定常数，可将方程为关于X与Y的齐次方程求解．

3. 线性方程

齐线性方程变量分离求解．

非齐线性方程用常数变易法求解．

4. 全微分方程

其中，可直接积分求解．如果微分方程不满足上述条件，可试用积分因子法求解．

（三）一阶稳定方程的几种类型及其求解途径

1．可就y解出的方程

引入参数化为导数可解出的方程得出参数解或通解．

2．就x解出的方程

引入参数化为导数可解出的方程类型，得出参数解或通解．

3. 含y的方程

引入参数，可化为变量分离方程，得出参数解．

4. 不含x的方程

引入参数，可分为变量分离方程，得出参数解．

5. 克莱洛方程

引入参数，即可得到参数解．

一阶微分方程解的存在与唯一性定理的叙述；一阶方程的几何解释；图象解法；奇解、包络、正交轨线等概念．

学习本章要求熟练地掌握上述一阶微分方程的求解方法；确存在唯一性定理的内容和条件；了解奇解等概念，会求简单微分方程的奇解．

三、学习方法及有关几个问题的说明

首先讨论了主要的几类一阶方程的求解方法，要求学员复习一下一元函数的不定积分，特别能熟练地会求一个函数的不定积分，也要熟悉二元函数的一些微分关系式．这样学习教材和作练习题困难会少些．

微分方程的解法有一个特点，各类方程都有它自己的特定解法，因此只要弄清方程的类型，就可以按方法的步聚，耐心细微点，不难求得微分方程的解．

1. 变量分离类型的方程

变量分离类型的方程是本节的基本方程，其解法是本节解题的基本方法.

因为本节许多类型的方程通过代换可化为变量分离方程去求解．因此，把它必须搞清楚．

变量分离的方程形式为

　　（1）

其特点是导数已解出，而方程的右端为一个仅含的函数与另一个仅含的函数的乘积形式．

如果，则方程可直接积分求解．其通解为

一般地，对于（1）如果在区间上连续，在区间上连续且恒不为零，则(1)可分离变量得

通过积分，得通解为

再根据所给的初始条件，就可以求出方程的特解．

例1　求解微分方程

　　解　显见方程是变量分离方程．函数在处没有定义．而在内连续．设，用它除方程后，可得出变量分离方程

两端积分得

其通解为

．　　　　　(2)

用分离变量法求解微分方程时，应特别注意丢失解的问题．在本例中，由于就可能丢失中含有的解．即可能丢失中含有的解．显见，是方程的解，但它们均包括在通解(2)中，如果取，的话．

分离变量的方程有时可写为如下对称形式

　　　　　(3)

用除(3)两端，得

该方程含dx项的系数仅依赖于x，含dy项的系数仅依赖于y，故为变量已分离的方程，两端积分得通解为

再根据所给的初始条件，可求出特解．

例2　求解微分方程．

解　用除方程两端，得变量分离方程

积分得

故得通解为

．　　　　　(4)

因为，可能丢失的解为…)．它们都是方程的解．这里，当把看作解时，是把x视为未知函数的．它们都包括在通解(4)之中，如果取，和的话．

2．线性微分方程

线性微分方程的理论和求解方法是本教材主要讨论的内容，也是在应用中常常遇到的一类方程，学习它对求解非线性微分方程也有启发．因此学员一定要掌握它的求解思路方法．

一阶线性微分方程形式为

(5)

其中和都是的已知连续函数．

若, 方程 (5) 变成

 (6)

(6) 称为一阶齐线性方程．

(1) 求齐线性方程的解

分离变量得

将两边积分

故通解为

  (为任意常数).

(2) 求非齐线性方程的解

关于一阶非齐线性方程通解形式，我们先作一下分析，进而提出常数变易法．

一阶非齐线性方程可改写为

两边积分得

上式右端第一个积分含有未知函数 y ，它是 x 的函数，尽管积分算不出来，但这个积分是 x 的函数，不妨记为，是一个待定函数．于是

即

令，它是一个待定函数．于是

虽然我们没有求出非齐线性方程的解，但已经知道解的形式是这样．这正是将齐线性方程的通解

中任意常数 c，换为 x 的待定函数 c(x) ，便得到非齐线性方程解的形式．

注意: 这里的分析仅是对一阶非齐线性方程常数变易法的分析，并不能随意推广．

这个把齐线性方程通解中的常数变易为待定函数的方法叫常数变易法．

下边来求出．由于

将上式代入非齐线性方程 (5) 中，得

故

两边积分，得

  (为任意常数)

所以

(7)

就是一阶非齐线性方程的通解．

从 (7) 可知，方程 (5) 的通解由两项组成，其中一项是对应齐线性方程 (6) 的通解，另一项是方程 (5) 的一个特解在通解 (7) 中取时的情况．

在教材中，从理论上证明了该命题，该定理通常称为通解结构定理．

用常数变易法求解非齐线性方程的方法比较重要，它可以推广到高阶线性方程和线性方程组，一定要把方法搞熟．

最后，我们要注意线性这个概念是必须先确定了未知函数和自变量以后才能下定义的．例如教材P42的例3，只能是以 x 为未知函数， y 为自变量的线性微分方程．如果以 y 为未知函数方程就不是线性微分方程了．

3．全微分方程

定义　如果微分方程

(8)

的左端恰是某一函数的全微分，即

　　　(9)

则方程 (8) 称为全微分方程，这时方程 (8) 可写成，因而它的通解为，其中是任意常数．

为了很快的解出不少常见的全微分方程，用观察法容易找到积分因子，要求熟记常遇到的一些全微分关系式，除讲义上已有外，这里再补充几个．

判断一个一阶方程是否是全微分方程，无疑是重要的．

如果微分方程

(10)

中，一阶偏导数连续，方程的充要条件是全微分

且此时

其中可以任意选取．因此全微分方程的通解为

或

其中是任意常数．

例题3　求解微分方程

 (11)

解　因为方程(11)不能化为

所以(11)不是可分离变量的微分方程．又因为(11)中含有和，所以(11)不是线性方程．

令，

由于

所以(11)是一个全微分方程．

解法1．根据解的公式求解．不妨取，于是有

故得通解

解法2．用分项重新组合和观察法求解．从全微分方程定义出发，用简单的微分关系式即可得到通解,

因此方程(11)的通解

解法3．不定积分法求解．该方法的其本思路是，

是全微分方程，从而存在，使得

故

（12）

因此

故

（13）

把（13）代入（12）得．将以上思路应用于本例有

所以, 通解为

上述三个方法从不同角度求得的通解是相同的. 于用那种方法，就看具体情况而采取了．

积分因子法．

给出微分方程

(14)

如果它不是全微分方程，如果能找到一个函数使得

是一个全微分方程，则称函数是方程 (14) 的一个积分因子．关于这一部分学员必须明确：一个方程如果存在积分因子，那么积分因子不只是一个．方程解的形式也不一定相同；求积分因子的一般方法是求解一个一阶线性偏微分方程，比解方程(14)更为困难；如要方程满足条件

它仅是 x 的函数，那么易求其积分因子为．

同样，方程满足条件

它仅是的函数，那么易求其积分因子为

求积分因子技巧性较强，希望多看例题，多作习题，从中总结规律，提高分析问题与解决问题的能力．

4．可用变量代换求解的一阶分微分方程

在理论上可以证明：一个一阶方程

都可用适当的变量代换，使它成为可分离变量的形式．但这种变换的寻求正像找积分因子一样，不是一件容易的事情．对一些方程，可根据其特点，引入适当变量代换，将方程化为某一可积类型．如齐次方程

令代换，就可以化为可分离变量的方程求解．

对于方程

当时，可作代换化为齐次方程．又如贝努利方程

作代换，就可以化为线性方程．又如对于黎卡提方程

如果已知是它的一个特解，作代换其中 u 为未知函数，就可化为贝努利方程, 等等．由此可见，变量代换在解微分方程中的重要作用．

对于一阶微分方程实际上作为基础的不外是变量分离方程和全微分方程，其它类型的方程均可借助变量代换或求积分因子化为这两种类型，这可表示为下图:

总之，给出一个一阶方程，如果属于上述类型，依特定的方法即可求解，有时方程属于以上各类方程中的几类，学员可根据经验用最简方法求解，如果不明显是上述某一类，看是否能找到代换，化成上述某一类求解．如果再解不出来，那只好求助于其它方法如图象解法，幂级数解法等，这些方法在后面有关章节讨论．

5．微分方程的基本问题

首先是求解，解要存在，求解才有意义，用上述初等积分法在区域 D (如矩形区域)求解，这样的方程毕竟是不多的，所以微分方程的近似积分法具有很大意义，但是要采用微分方程的某一种近似积分法，必须首先肯定解存在且唯一，否则，唯一性不成立，要近似确定解是不明确的，近似解向那一个逼近，而误差又是对那个解来进行估计呢? 由此可见微分方程解的存在唯一性定理的重要性．

关于存在唯一性定理这里仅对定理条件的作用作一些说明．目的是帮助学员深刻的理解该定理．

（1）如果在定理中，仅给出在 D 上连续，并未给出李普希兹条件，那么, 可以证明在矩形区域上至少存在有一个满足的解．这叫做解的存在定理，这里要注意“至少”这两个字．关于存在定理的证明方法很多，感兴趣的学员可参考有关书籍．

如果再加上李普希兹条件，这就保证了解不仅存在，而且是唯一的，可见，李普希兹条件是证明解唯一性时用到的．

李普希兹条件能够用一个更宽的同时易于检验的条件来代替，即在上连续．这个结论对我们今后讨论极为有用．从理论上讲，如果该条件成立，李普希兹条件一定成立，但该条件如果不成立，李普希兹条件也可能成立．

例如，方程

显然，在处导数不存在，但函数对任意的(包含)，，满足李普希兹条件，因为

此时，李普希兹常数，李普希兹条件在全平面()都成立．

(2) 关于解的存在区间，定理指出解在上一定存在．其中取和这两个数中较小的一个，而是函数在闭域上的上界．这里大家要注意，我们不能断定解在区间上存在．因为解可能在某值（如果）或（）（如果）处，从矩形D的上边界和下边界越出D的范围，这时对值（或）函数便可能没有定义了．加上上述限制，可以保证解当时．不能越出区域D．换句话说，这就保证解在区间上存在．

最后，学员应注意对于线性方程

只要在、在区间上连续，就保证初值问题的解在上存在且唯一，这个结果，今后经常要用到．

6.  图象解法

图象解法是建立在微分方程几何解释的基础上．微分方程能求得解析表达式的解，那是再好不过的．当无法求得解析表达式的解时，借助于右端函数的性质，大致描绘出解的图像，也是一个重要方法，因此它是一种近似解法．教材在此提出这个问题，一方面给出一个近似解法；另一方面又给在第六章讨论微分方程定性理论埋下伏笔．要求学员会用等倾线法大致绘出解的图象就可以了．当然如果进一步了解函数其它性质，如极值点、拐点、对称性、渐近线等，那和，绘出解的图象将更迅速、更准确．

在用图像解法时应该注意，从几何角度来看，变量和是完全平等的，因此，在讨论微分方程的同时，还要研究微分方程

如果在平面某区域内，函数和都有定义，那么上述二方程等价，即它们有共同的积分曲线．

如果在某些点处，二方程之一无意义，那和在这些点处，可有另一个有定义的方程来代替，如方程，它在时没有意义，我们可转而讨论方程，此时当时 () 时，方程就又有意义了．显然是该方程的解，因而可认为也是原方程的积分曲线．

如果在某些点，方程和二者都无意义，那么，这些点称为方程的奇点.

7．一阶隐方程的解的存在唯一性定理

它的证明思路是，首先根据微分学中的隐函数存在定理，确定唯一的函数在 () 邻域内连续且满足条件其次由于条件iii)，根据一阶方程解的存在唯一性定理，从而证明了该定理．条件iii)是保证解唯一性的．

这里应注意，方程过点的积分曲线，一般来说不是一条而是若干条．因为由方程解出，我们得到的不是一个而是若干实数值．因此这里定理所讲的唯一性是指隐方程满足条件：

例如，一阶隐方程

（16）

分解因式得于是得方程或，上述两方程的通解分别为和

那么，显然方程 (16) 过点A(1，1)的积分曲线有两条和其解并不唯一．

但是，方程(16)满足初值条件：，的解仅有一个，即．这是因为方程(16)满足定理的有条件．

8．方程

，并不是永远容易解出，即便能解出，所得的方程也不一定容易求解．此时，我们可以考虑是否关于或能够解出，从而得出容易求解的两类方程

或 (17)

如果方程不显或，即得方程

或 (18)

这几类方程求解都是从引入参数出发，但求解过程 (17) 和 (18) 略有差异，不要混淆．在 (17) 中，如方程同理，先引入参数后，关于函数中的另一变量作微商，即可得关于变量的一阶方程，最后求出通解或参数解．而在(18)中，如方程，同理)，引入参数后，关于另一变量任取一，代入方程，解出，利用微分关系式，即可得变量分离方程，从而得出参数形式解．由于的任意性，其解形式可能不同．正由于的任意性，在求解时也带来某些方便．如可以如此这般地选取，使得从方程中容易解出．

9．奇解和包络

奇解是微分方程一个重要概念，但是关于它的定义，提法不一，由于学习时数关系，这里不能多谈．本教材采用常见的一种方式定义奇解的．因此，学员在看参考书时要加倍小心．

定义　如果是方程的解，在该解上的每一点至少有异于的解存在，且异于解在点 () 处与解相切，则称是方程的奇解．

因此，奇解也可以理解为，在奇解上每点处，方程的解不是唯一的．

因为已证明积分曲线族(方程的通解)的包络是奇解．

因此得到求奇解的方法之一是：从方程的积分曲线族(通解)出发，作该积分曲线的包络．

这里应注意一点，在求积分曲线族的包络时，即求一判别曲线，在判别曲线中，除包含有包络外，还可能包含别的曲线，甚至都不是积分曲线，因此，究竟是否有包络或那一条是包络，还要按包络的定义进行检查．检查包络的简易方法，教材中已给出．

另一个求奇解的方法是：从方程本身出发，看唯一性都在那些破坏，从而求出奇解来．

由于奇解首先是方程的解，因此奇解应满足方程

　　(19)

其次，唯一性在那些点破坏，当然在方程中去找．

因此方程

和 (20)

应同时被满足，因而从两个方程消去，得到方程

　　　　  (21)

称为——判别曲线，奇解应包含在其中．但是，并不是在满足方程(2)的每点处，方程(19)的解的唯一性必定不成立，因为对于解的唯一性来说，存在唯一性定理仅仅是充分的，而是必要的，因此，定理条件的破坏，不一定导致唯一性不成立．

所以在求出—判别曲线后，要代入方程(19)来检验—判别曲线中那些曲线是方程的积分曲线，如果是的话，还要检验在这些曲线上，唯一性是否被破坏，如果唯一性不成立，则—判别曲线的这一支才是奇解．检验唯一性被破坏的方法，下边举例说明．

例4　用—判别曲线程法求方程的奇解．

解　求—判别曲线，根据公式

消去得

显见，是方程的积分曲线，是不是奇解? 还要检验在上每点处是否唯一性不成立．即在上每一点处是否还存在方程的其它解．为此我们求出方程的通解，在上任取一点()，看过该点()，看过该点()方程的解是否存在．

由于方程不显含，故取，从方程中解出

利用微分关系式

积分得通解为

整理后得通解为. 再代入初始条件得. 因此在上任一点()上，方程有特解

即在的每一点上唯一性不成立，而且在点()处两条积分曲线相切．因为，积分曲线在点()处斜率来零．

而积分曲线

在点 () 处的斜率为

从而得证是奇解．

由于原方程的积分曲线族(通解)已知，不妨财用—判别曲线法来求一下奇解．依公式得

消去，得—判别曲线为．其中包含和两和直线，易检验不是原方程的解，当然它不是奇解．那么是不是包络呢? 下面来进行检验．

如何检验是不是包络呢?看一看积分曲线族关于和的偏导数在上，是不是不同时为零即可．由于，所以

其中是由于在积分曲线上，当时，．因为在上不为零，故是积分曲线族的包络．即是原方程的奇解．由例可知，两种方法求出的奇解是相同的

第二章　高阶微分方程

一、内容提要及学习要求

(一) 几类特殊的高阶微分方程

1．

直接积分 n 次，即可得通解.

2．不显含未知函数 y 和 y 的某些较低阶导数的方程

取代换使方程降至阶.

3．不显含自变量 x 的方程

取代换可将方程降低一阶．

(二) 高阶线性微分方程

齐线性微分方程

 (1)

方程 (1) 的通解为

其中是方程 (1) 的 n 个线性无关的解，是任意常数．

非齐线性微分方程

(2)

方程 (2) 的通解为

其中是方程 (1) 的通解，是方程 (2) 任一个特解．而特解可用常数变易法求得．

(三) 常系数齐线性方

(3)

其中都是已知常数，方程(3)可用待定系数法，转化为代数方程求解．

(四) 尤拉方程

取代换化为常系数齐线性方程求解．

(五) 常系数非齐线性微分方程

方程 (2) 当

其中是已知常数，是常数，是常数，而中有一个是s次多项式，而另一个是不超过s次的多项式．这三类右端项都可用待定系数法求特解．

本章学习，要求学员了解用降阶法求几类特殊的高阶方程解的解法．掌握高阶线性方程的基本理论．熟练地掌握常系数齐线性和非齐线性的解法：待定系数法和常数变易法．

二、学习中应注意的几个问题

本章学习要用到高等代数中一些概念，如线性相关，线性无关，行列式，线性代数方程组可解的充要条件等．因此希望学员在学习中复习一下这些内容是有益的．

1．这里用降阶法讨论了三类方程，除第一类可直接求出解外，其它两类，只是给出将方程阶数降低的方法．如果原来是二阶方程，那么用降阶法降低了一阶，可能化成第二章讨论过的某类型，从而求得解．第二类第三类方程，一般地是非线性的，因此降阶法对它们的求解还是有用的，因为一般地高阶非线性方程求解，还是十分困难的．

下面举例说明降阶求解的方法．

例1　求方程

　　(4)

的通解．

解　方程是不显含的类型.

设，则，，代入方程得

(5)

这样方程 (4) 降低了一阶．而方程 (5) 仍然是一个不显含的二阶方程，于是仍可再降阶．

设，将p看作自变量，视q为未知函数，于是得到

代入方程 (5) 得　

方程又被降低了一阶，分离变量得　

积分得

(6)

由于 ,  分离变量得，积分得

积分得通解为

原方程 (4) 是连续用两次降阶法，化为变量分离方程求解的．

在使用分离变量法时，丢失即的解，当时，它包含在通解中．

在使用分离变量法时，又丢失，即．易证，它是方程 (4) 的解，但它不包含在通解之中．

方程(4)还可用其它方法求解．如将方程(4)改写为

用除方程两端得

因除方程，丢失的解．

即因除方程，丢失的解． 

该解法称凑微分法，它与降阶法所得通解相同．但它的技巧性较强，所以基本的还是上述的阶阶法．可降阶的方程，还有其它类型，这里就不再讨论了．

关于方程的幂级数解法

一般变系数的线性微分方程，并不一定能找到用初等函数表示的解，这时就可考虑求具有幂级数形状的解．在一个具体问题中，常常选取形式上满足方程的幂级数，即如果假定这个级数收敛，且可逐项微分 n  次，将它代入方程，决定出幂级数的系数，形式上得到级数形状的解．然后再研究该级数的收敛性和逐项微分 n  次的可能性，在级数收敛并可逐项微分 n  次的区间上，这个级数的和函数就是方程的解．

微分方程的幂级数解法，可用来求一阶、二阶以及更高阶方程的特解和通解．

我们归纳一下一般求幂级数解的步聚．

（1）设方程的形式解为

(6)

（2）如果方程的系数和右端项不是常数，将它们展开为幂级数．

（3）把式 (6) 及已知函数展开的幂级数代入原方程，并合并同类项．

（4）令方程两边同次幂的系数相等，得到的联立方程组．

（5）代入初始条件(如果求特解)，决定一(几)个…，(其中n 为方程的阶数)，一般地，解代数方程组决定出系数，代入 (6) 即得方程的形式的幂级数解．

（6）最后求出幂级数的收敛区间，在该区间上幂级数为原方程的解．

2．高阶齐线性方程、齐线性方程：

     (13)

有两个基本的性质，但往往被学习者所忽视．

性质1　如果方程 (13) 的系数在上连续，那么满足零初始条件.

方程 (13) 仅有零解，其中.

这个性质在高阶齐线性方程定理的证明中不止一次用到．是方程(13)的解是显然的，解的唯一性将在第五章中证明．

性质2　如果是方程 (13) 的解，则

仍是方程 (13) 的解，其中是任意常数．

这个性质称为迭加原理，它在以后许多定理证明及求解齐线性方程都用到．

函数的线性相关与线性无关：

定义　对于一组函数，如果有不全为零的常数，使得等式

(14)

在区间上恒成立，则称这组函数在上线性相关．否则称这组函数线性无关(线性独立)．

我们应看到函数组性相关和线性无关与代数中的向量组线性相关和线性无关概念有相类似之处，但不尽相同，我们既然关心的是方程的解，就是以函数作为讨论的对象，函数有定义域，因此(14)的成立，必须在内对一切 x 都要成立．

那么如何判断一组函数线性相关与线性无关呢?无疑用定义来判断是一种方法．如果仅由两个函数组成的组，常用的方法是将两函数作比，如果其比值是一个常数，那么它们线性相关，否则，该两个函数线性无关．

如由于常数，故它们在内线性无关．

又如多于两个函数的函数组，，是否线性相关，那就不能用上述方法．我们一般采用

(15)

即，欲使对一切都成立，只需

解上述联立方程组得，. 当时，.  于是得到对于一切都成立.  由于不全为零，使(15)对于内一切都成立．故函数组在内线性相关．

3．高阶非齐线性方程

　（16）

如果是方程

(17)

　　(18)

的解．

证明　将代入方程(18)左端得

方程 (18) 的左右两端恒等，定理得证．

这个定理把求解方程(18)可简化为个具有 (16) 形式的方程的求解．

方程 (16) 通解结构定理：

如果方程、…) 是 (16) 对应的齐线性方程个线性无关的解，是方程 (16) 的一个特解，那么

是方程 (16) 的通解，其中是任意常数．它的证明思路与齐线性方程通解的证明思路相同，这里不再重复．

因此求方程(16)的通解，只要求得对应齐线性方程的通解，再求出非齐线性方程(16)一个特解即可．如何求方程(16)的特解呢?这里指出一个一般的方法．

如果(16)的齐线性方程通解为，用过去介绍过的常数变易法可求出一个特解．

这种方法的基本思路是把通解中的常数变易为函数，即以的形式去找方程(16)的解．实际上，本来是求未知函数，现在转化为来求，这样个未知函数．要确定个函数，就需要关于的个方程，将代入方程(16)仅给出一个方程，其余个方程又如何确定呢? 我们选择个方程，使得函数的导数尽可能的有为常数时所具有的形状，为此，将求次导数，每一次都取

 (19)

这样得到

(20)

和

从(19)可知，我们已得满足的个方程，而差的一个方程不能从(20)的第二式中取，因为及由(20)所确定的和，还必须满足非线性方程(16)，现在将(20)代入(16)来决定应满足的方程为

(21)

这样就得到要满足(16)而(其实是)应满足的个方程(19)和(21)．

将(19)和(21)联立，解出，由于的系数行对应齐线性方程的朗斯基行列式，又由于是(16)齐线性方程的个线性无关的解，因此的系数行列式不等于零，就可以唯一的决定一组，然后再积分一次，得到，从而得出方程(16)的特解．

例2　求解

　　　 (22)

解　先求方程(22)对应齐线性方程的通解由于，所以. 故所求的函数的二阶导数，等于该函数加一个负号．由观察知，都具有这种性质．由于常数，所以在内线性无关．故齐线性方程的通解为

用常数变易法求方程(22)的一个特解，为此，在通解中变易和得

由方程组(19)和(21)确定为

解出和得

积分得

因为求特解，不妨取，于是得方程(22)的一个特解为

可以直接验证为方程(22)的特解．而

是方程(22)的通解．

5．常系数线性方程的求解问题

变系数线性方程求解是十分困难的，即便是一个二阶方程．但常系数线性方程的求解问题，解决的比较彻底．

常系数齐线性方程的一般形式

　(23)

其中都是已知的实数．作出相应的次代数方程

　(24)

(24)称为(23)的特征方程．特征方程的个根称为(23)的特征根．

结论的求得，主要思想是：从研究方程(23)具有形式为的解入手(其中是待定常数)，从而将求解方程(23)的问题，化归为求解代数方程(24)的问题．最后得出方程(23)的基本解组．人们常称该方法为特定指数函数法．该方法主要特点是：不用积分只用代数方法就能求出方程(23)的通解．

例3　求方程

的通解．

解　特征方程是

特征根

由于特征根是及的二重根，故特解为

方程的通解为

关于常系数非齐线性方程一般形式为

在实际应用中，常遇到右端项多是多项式，三角函数，指数函数，或者它们的线性合及它们的乘积形式的函数，可以不通过积分而用待定系数法，求出它的一个特解．

待定系数法就是把一个具有确定形式而系数待定的函数视为所求的解，代入原方程，再确定这些待定系数的值．这种方法简单方便，没有什么特别的技巧，关键是把待定系数的函数取正确．这种方法可以推广到常系数非齐线性方程组上去．我们把教材中所讨论的三类情况，归纳列表，供解题时参考．

为什么这三类右端项具有确定的特解形状呢? 主要的想法是：一是常系数线性方程，作为它的解代入方程后，使得方程两边恒等．而方程的左端与导数有关，所以要选取这样形式的函数作为解：函数的导数的线性组合与方程右端的函数在形式上应该相同．由于多项式其导数仍是多项式(次数降低)；指数函数其导数仍是指数函数；正弦和余弦组合的函数其导数仍是正弦和余弦组合的函数．这样将确定的形式代入方程，才能对比等式的两边系数，从而确定待定的数值，得到方程的特解．

如果不是上述三类函数，而是一般情况，那么就要先求出对应齐线性方程的通解(如上术，这是可以做到的)，然后再用常数变易法求出特解．

这里应指出一点，有些方程的右端项，起初看起来并不属于上述的三类函数，但可经过变换化成上述三类之一，从而求出方程的解．

例4　求方程

 (25)

的通解．

解　由于，这样方程(25)可化为上述的第三类的形式．利用非齐线性方程的迭加原理，可分别求方程

(26)

及

(26’)

的解，然后相加，得出方程(25)的通解．

方程(26)对应的齐线性方程的特征方程为

特征根为. 齐线性方程的通解为

下边用待定系数法分别求(26)和的特解. 由于不是特征根，故取特解的形式为

(27)

将代入方程(26)得

欲使上式相等，只要取, 解上述代数方程组得

代入(27)式得方程(26)的特解为

同理，不是的特征根，取特解形式为

求导代入方程并对比系数得

故方程的特解为

最后方程(25)的通解为

在这里应注意一点，方程(26)及的右端虽仅是及，没有余弦项，但在取特解形式时不能只取，及，否则就不以了．不妨大家试作一下，看发生什么现象．这一点常被忽略而出错．

最后，在很多情况下，当求右端项如，的常系数线性方程的特解时，将它们改为指数函数较为方便，如方程

因为尤拉公式, 以是的虚部乘，这样改为

(28)

如果先求得(28)的特解，得用等式两端实部、虚部分别相等的性质，(28)特解的虚部就是的特解，但(28)与并不等价．下面我们用这个方法试作一下．

由于不是(28)的特征根，故取特解形式为.

将代入方程(28)得

故(28)的特解为

于是方程的特解为

与上边求得的解相同．

第三章　微分方程组

一、内容提要与学习要求

（一）将微分方程组化为一阶微分方程组．利用未知函数变换可将任意一个微分方程组化为一个一阶方程组．高阶方程组与一阶方程组的互化．

（二）一阶方程组的一般概念：解、通解、几何解释、初值问题等．

（三）线性方程的组的基本理论及解法．向量与矩阵的表述方法．

齐线性方程组的通解结构，非齐线性方程组的通解结构．利用常数变易法求解非齐线性方程组．常数线性方程组的解法：待定系数法．用拉氏变换法求解常系数性方程组初值问题．学习这一章要求学员明确一阶微分方组的一般概念；熟悉将一阶微分方程组化高阶方程组的方法；掌握一阶微分方程组的首次积分法；掌握线性方程组的基本理论；中心问题是齐线性方组的通解结构；熟练地运用待定系数法求解常系数线性方程组的解；熟悉向量与矩阵的表述方法，学会用矩阵、向量的工具讨论、求解微分方程组．

二、学习方法及几个问题解释

本章学习常用到高等代数中许多基础知识，如向量、矩阵、初等因子，阵，约当标准型，循环列等概念．请学员搞熟这些，那么学习本章将不会有多大困难．

线性方程组的理论和解法与高阶线性方程的理论和解法几乎完全一样．因此学员在学习第三章的基础上，对比的学本章，将会是方便的．关于线性方程组的理论，没有必要再多说什么．

一阶方程组的一般概念，如方程组的解，通解几何解释，初始问题等，实质上与一阶方程完全相同，只不过形式上繁一些，因此这些概念可参考前面的解释，这里不再作注释．

学习本章首先必须明确，任何一个最高阶导数解出的微分方程组，引入新的未知函数可以化为一个与之等价的一阶微分方程组．

因此我们的注意力集中在讨论一阶微分方程组

其中是自变量，是个未知数，是变元，的已知函数．该微分方程组的特点是：关于未知函数的一阶导数已解出，另外方程的个数与未知函数的个数相等．本讲义的重点放在线性微分方程组：

或写成向量形式

特别详细的研究常系数线性一阶方程组

或写成向量形式：

其中是常数矩阵．

1.  高阶微分方程与微分方程组的互化．

由于教材中并未给出详细的推导，这里不妨补充一下，使学员进一步从理论上明确二者之间的关系，明确方法的根据．已给一个阶导数已解出的阶微分方程

于是阶微分方程可化为一个一阶微分方程组

反过来，已给一个一阶微分方程组，可以化为一个阶微分方程．

下面我们以三个一阶微分方程组成的方程组为例．说明方法步聚．

将方程组(1)的第一个方程对求导得

或记为

将上式对再求导得

于是有

从(3)式解出为

将(4)式代入(2)式得

这样将方程组(1)化成关于未知函数的一个三阶微分方程(5)，显然是由函数所确定．

在这里作以下几点说明:

(1)  从上述作法可以看出，由于关于求导二次，因此要求关于变元有二阶偏导数．

(2)  要保证从(4)式解出，根据隐函数存在定理，要求所考虑的区域内

(3)  一阶微分方程组(1)与高阶微分方程(5)在下述意义下是等价的．

如果，，是一阶微分方程组(1)的解，则是三阶微分方程(5)的解．反之，如果是三阶微分方程(5)的解，那么，将代入(4)式所确定的与便是一阶微分方程组(1)的解．

当然，这个意义下的等价性要求一阶微分方程组(1)满足说明(1)和(2)所列的条件，这些条件是本方法所加的限制．

由上述可知，用化高阶微分方程的方法可求解一阶微分方程组．该方法与代数中的消元法在思想方法上类似．在代数方程中求解用加法、减法及数乘来消元，在这里消元用到微分法当然这种方法对常系数线性方程组(齐的和非齐的)也适用．最后，应强调一点，高阶线性微分方程与线性微分方程组的互化，这一点在理论上很重要，线性方程组的有关结果推论到高阶线性方程上去，从而可在一个统一的观点下理解这两部分的内容．

用首次积分法求解微分方程组．这个方法很重要适用性较广．它不仅能求解一阶微分方程组(方程右端不一定是线性)而且能求解一阶偏微分方程，而一阶微分方程又是学习偏微分方程理论的基础，因此要求学员掌握它．

下面我们介绍它的理论及求解方法——首次积分法．为了简明的把问题交待清楚，仅以三个方程组成的微分方程组来进行讨论．

一阶方程组

定义　如果是方程组(6)的特解，函数，如果将函数中的变元换成(6)的解，该函数恒为一个常数，即

则称为方程组(6)的一个首次积分(初积分)．

定理　设已知(6)的一个首次积分，则可以把(6)的求解问题化为两个方程的微分方程组的求解问题．

定理　如果已知(6)的三个首次积分

且这三个首次积分无关，即

那么，由关系式

确定的隐函数组中解出，

是方程组(6)的通解，其中是三个任意常数．

由上所述，如果我们能找到(6)的三个无关的首次积分，则方程组(6)的通解可求出．

但是如何求(6)的首次积分呢?在理论上可以给出首次积分的一般求法，但实际作起来并非容易．教材在P196上介绍用可积组合的方法来求首次积分．该方法是从方程组(6)出发，想办法凑一个方程，而该方程关于可以积分．可积组合的概念实质上是从首次积分定义得来的．为了便于求首次积分，有时将(6)化成对称形

这样自变量与未知函数地位是平等的，因而可选其中的任一个作自变量．此时可以应用比例性质组成可积组合．

以上定理的证明从略，学员可参考有关的常微分方程书．

例1　用首次积分法求方程组

的通解．

解　将方程组改写为对称形式

或

把上式前两个关系式，按分子分母相减，再令所得关系式等于第三个关系式，我们得到

即

积分一次得一个首次积分

或

将

代入原方程组的第一个方程，得

积分得

上式并不是第二个首次积分，因为上式左边含有另一个任意常数．

由前面知，故

这才是第二次积分．

将与联立共解得通解

该例说明，关系式中含有两个任意常数，不能认为该关系式是一个首次积分．有时已求出一个首次积分，而其它首次积分不易求出，此时可从该首次积分中解出一个变量，代入原微分方程组消去该变量，使方程减少一个未知函数，然后继续求解或找其它首次积分，如上例所作的那样，从而最后求出微分方程组的解．

2.  关于常系数齐线性微分方程组的解法

本教材讨论了待定系数法，化高阶方程法和拉氏变换法．化高阶方程解法，如上所述，只要把方程组化为等价的高阶方程，用第三章求解方法，可求得解．我们在下面介绍待定系数法和拉氏变换法．

常系数齐线性微分方程组一般形状为

其中是实常数，是自变量，为未知函数．

待定系数法的基本思想方法是

如果微分方程组(7)有下述形状的解

则是微分方程组(7)的特征根，而是特征根对应的特征向量．

反之，如果是微分方程组(7)的一个特征根，而是该特征根对应的特征向量，则可直接验证，由(8)构成的个函数是微分方程组(7)的一组解．这样，求方程组(7)的解，化为用代数方法求特征根和特征向量．

根据特征根的不同情形，可将微分方程组(7)的线性无关解的形式列为表并举例说明重复根求解的方法．

例2　解微分方程组

解　特征方程

特征根有二重根，其中

设方程组(9)有以下形状的解

其中，是待定常数将(10)代入微分方程组(9)，并比较方程两端系数得

(11)式是将待定系数中的，和，分别来表示．

而可任意取数取代入(11)得

将所确定的系数代入(10)得微分方程组(9)的解

同样取，代入(11)得

代入(10)得微分方程组(9)的解

取，代入(11)得

,

代入(10)得微分方程组(9)的解

取，代入(11)得

代入(10)得微分方程组(9)的解

故微分方程组(9)的通解为

(其中是任意常数).

3．关于常系数非齐线性微分方程组的解法

(1) 常数变易法．

常系数线性非齐次方程组

其中是实常数，是已知函数．

如果已知(12)对应的齐次方程组的个线性无关

解

那么齐次方程组的通解为

将其中的常数变易为函数，那么线性非齐次方程组(12)的一个特解可由下形式确定

期中是待定函数，它们满足方程组

从(14)解出，再积分一次就得到，将代入(13)就得到方程组(12)的一个特解．

例3　求解常系数非齐线性微分方程组

解　因对应齐次方程组的通解为

变易常数得

代入(14)式得应满足的方程组

上式关于是一次代数方程组，解得

积分上式，由于求特解，不妨取积分常数为零，得

将(17)代入(16)得(15)的一个特解

因此方程组(15)的通解为

注　当特征根有二重根时，设方程组有线性无关解用待定系数法可求出线性无关解，但该解的形式不够确切，带来繁琐的计算．在4.3.2中给出了基本解组确切的形式．但在论证中用到高等代数中化约当型、初等因子、循环列等概念，其中有些内容超过了高等代数大纲的范围．

因此，本段学习要求学员记住常系数齐线性方程组基本解组的形式，且会求三阶方程组的基本解组就可以了．

(2)  常系数齐线性方程组

下面给出(20)的特征矩阵的初等因子各种可能情况及对应的基本解组.

(1) 特征根是单根的情形，初等因子

对应的基本解组是

其中分别为特征根对应的特征列向量．

即分别满足

是单位矩阵．

(2) 特征根为而有二重根，初等因子为

对应的基本解组为

其中是特征根对应的特征列向量．是特征根对应的特征列向量．的列向量只要与的列向量线性无关即可．

ii) 

对应的基本解组为

其中是特征根对应的特征列向量，是的循环列，即、满足

(3) 特征根有三重根，初等因子可能有

对应的基本解组为

其中的列向量线性无关即可．

.

对应的基本解组为

其中是特征根对应的特征列向量，与的列向量线性无关，且是的循环列，即满足

对应的基本解

其中为的循环列，满足

例4　特征矩阵

例5　特征矩阵

第四章　微分方程一般理论初步

一、内容提要和学习要求

本章主要证明了一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理．类比的说明了一阶微分方程组解的存在唯一性定理的证明思路．介绍了高阶线性微分方程和线性微分方程组的存在唯一性定理．要求学员掌握用逐次逼近法如何证明一阶微分方程的存在唯一性定理的思路和步骤，并了解其解的一些属性．明确其它类型微分方程(组)解的存在唯一性定理的条件和结论．熟练地掌握用逐次逼近法求近似解，学会误差估计．

二、学习中应注意的有关几个问题

学习本章要用到数学分析中许多重要概念，如函数项级数一致收敛，积分号下取极限等，在学习本章前应复习一下．

本章这些基本理论是常微分方程中极为重要的基础．也是进一步研究常微分方程各个分支理论，如定性理论、稳定性理论、动力体系和最优控制等常用到的一般基础，由于篇幅和时间所限，教材只介绍了简单的内容，学员如有兴趣，学习时可参看其它教科书．

1. 关于逐次逼近法

关于逐次逼近法在证明一阶微分方程初值问题解的存在唯一性时，教材中关于思路、步骤介绍的都十分清楚，下边仅作几点说明和补充．

(1) 逐次逼近法首先是由皮阿诺(G.peano)对于线性微分方程提出的，后来由毕卡(picard)对非线性方程用逐次逼近法给于证明，正像教材中所作的那样．

(2) 在定理中李普希兹条件既保证了初值问题解的唯一性，同时它又保证了用逐次逼近法作出的函数序列的收敛性．如果仅证明解的存在性可以不要李普希兹条件，只需假定在区域内连续，此时不只确定一个解．

(3) 在证明过程中，我们把微分方程的初值问题化为等价的积分方程，其目的是由于一致收敛条件对于积分序列比导数叙列方便简单的多．

(4) 用逐次逼近法不仅证明解存在且唯一，在实用上也给出求微分方程(组)近似解的一种方法，甚至可以求出次近似解．

及次近似解和精确解在区间内的误差估计式

这样在求近似解时，可以根据误差要求，得到适当的逐次近似解．

在初始区域，使误差不超过0.25的近似解．

例1　用逐次逼近法求初值问题

在初始区域，使误差不超过0.25的近似解．

解　该方程是非线性一阶微分方程．根据误差估计式(2)要确定在误差范围内的来，即要求出估计式(2)中的和．

取区域

由于在区域上

故

因此解的存在区间是

由于

故李普希兹常数由误差估计式（2）

取时即可．因为时，

第二次近似解就满足误差要求．取

在要求的误差范围内的近似解为

2．逐次逼近法可以应用到一阶微分方程组．

例2　初值问题

证明　在内，其解可用逐次逼近法，并求三次近似解．

解　该微分方程组是非线性的一阶微方程组，因为它含有未知函数的平方项．取

在所给区域上取，因为此时

故

故用逐次逼近法其解存在区间为.

求第三次近似解

取时，,于是一阶微分方程组的等价积分方程组为

关于∮5.2是一些微分方程（组）的存在定理证明简介，这一部分内容很重要．由于学习时间所限，要求学员明确：一阶微分方程组、高阶微分方程，线性微分方程组等解的存在唯一性条件，其它可以不必细看．有兴趣的学员也可仿前证明，将定理证明练习一下．

第五章　定性理论

和稳定性理论简介

一、内容提要和学习要求

定性理论的基本概念和方法．如相平面、相轨线、奇点、二阶线性系统奇点的类型．

稳定性理论的基本概念和方法．如稳定性、渐近稳定．李雅普诺夫第二方法——函数定号性概念和用函数判定稳定性的定理及用一次近似方法判断稳定性．

要求学员只掌握基本概念：相轨线、奇点及奇点的类型．会用代数方法判断二阶线性系统的奇点．掌握稳定性理论中的概念：稳定性及渐近稳定性．了解有函数判定零解稳定性的几个判别定理．会用一次近似解来研究稳定性问题．

二、学习中的几个问题

本章介绍常微分方程的一些专门性领域，分为定性理论与稳定性理论两部分，它们一方面在理论上和应用上都有重要价值，另一方面可作为学员进一步研究近代常微分方程的基础．通过前边几章的学习，我们已经知道，大多数微分方程是无法通过“求积分”来得到解到的表达式．定性理论的思想方法就是在不求出解的情况下，把微分方程的解视为平面（空间）中的曲线，直接对微分方程右端函数的性质进行研究，从而来确定轨线的局部的或全局的性态．具体地就是研究奇点、极限环在相平面中分布情况及其性质．这种理论在无线电技术，自动控制，空间技术都有广泛的应用．成为近代工程技术科学不可缺少的工具之一．

1．本章开始关于振动的两个举例，学员必要搞清楚，对本章的学习十分必要．现将它们中有关的问题作一些解释．

(1)  在第四章中已知，总可以将一个二阶微分方程

化成等价的一阶微分方程组：

如果看作时间，看作位移，那么是速度．因此，这里的坐标不是我们一般理解的位置坐标．因为一般的位置坐标及都是长度．而现在对于（1）而言，是长度，是速度，其中是时间．我们研究微分议程组（2）是由微分方程（1）关于质点振动而导出来的，我们此时称平面为相平面，用以区别于普通的平面，其上任一点称为相点，用以区别于普通的点．

另外，由于数学的抽象方法，我们仍然可用一般平面的观点来进行数学处理，只是在得出数学结果后，要作出这种数学的物理解释，则必须回到原来的物理概念．

(2)  从运动的观点来看，在微分方程组（2）中，把看作时间，把看成平面上的点，此时微分方程（2）表示在时刻，在平面上确定了一个速度场，而和分别表示速度和轴和轴上的分速度．因此该速度的大小是就很自然了．

(3)  方程

的求解问题分离变量得

积分得

其中是任意常数．它在相平面上是同心椭圆族．即相轨线是同心椭圆族．

(4)  我们将（3）改写成参数式：

　　　（4）

可直接验证方程（4）满足微分方程组（2）即（4）为微分方程组（2）的积分曲线族（为任意常数）．

显然，该积分曲线族在相平面上的投影就是方程（3）．因此，我们可以说，在相平面中的轨线（3），就是在空间中微分方程组（2）的积分典线族在相平面上的投影．

但是，这里应该注意一点：积分曲线与轨线有一个重大的区别，即：在积分曲线上一般不考虑方向，而在轨线上则一定要考虑方向，时间增加的方向称为正向，时间减少的方向称为负向．相点在椭圆轨线上运动其方向又如何确定呢？我们可从微分方程组（2）出发来决定轨线的方向．

在第Ⅰ象限中，由于，从速度的分量来看，，随着的增加，是一个增函数，即在轴上的速度分量的正向指向轴的正方向；由于，随着的增加，是一个减函数，即在轴上的速度分量的正向指向轴的负方向．因此它们就确定了在第Ⅰ象限，相点沿着轨线是顺时针运动．同理，可讨论在第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限相点运动的方向，从而得到相点沿轨线椭圆以顺时针方运动．

(5)  总之，我们的目的是研究微分议程（1）质点的振动情况．我们研究的方法是，把微分方程（1）化为与它等价的微分方程组（2）来研究．但对微分方程组（2）我们并不去求它的积分曲线，而是研究积分曲线在平面上的投影——轨线的分布及运动情况．从该例看出，其轨线是椭圆族每个椭圆对应一个周期运动．这一点是符合第三章中所讨论的无阻尼自由振动（1）是一个周期振动的结论．

另外是相平面的原点．它对应于微分方程组（2）的解．它表示运动是平衡状态，这又如何理解呢？

这是从力学角度来看的．在相平面上，及分别表示速度及加速度．在相点（0，0），由于，说明在（0，0）处，既无速度，又不受外力作用（没有加速度），而处于静止状态．即对任意变动的，相点（0，0）固定不动．

还可以看到，任何轨线（椭圆族）永远不过原点（0，0），这说明相点沿轨线永远在运动，不会停止．这也与第三章所讨论的无阻尼自由振动在不停振动，永不衰减的结论是一致的．上面所讲的这些，总之说明，用定性理论的方法来研究微分方程（1），在运动的许多本质问题上是相同的．

(6)  例2（P.309）是研究有阻尼的自由振动，等价的一阶微分方程组是

在相平面上对应的微分方程为

在这里我们并没有直接求出解来再作出轨线，而是从微分方程（6）出发，用等倾线法画出相平面上的轨线图．那么轨线的方向又如何确定呢？

我们用等倾线及微分方程组（5）的第一个方程即可确定运动的方向，这和例1有些不同．因为当轨线与等倾线相交时，已知等倾线交点处轨线的切线，但该方向有两个，再利用条件来确定速度的方向．

在上半平面，即，说有在轴上分速度正向是指向轴的正方向．在下半平面，即，说明在轴上分速度的正向是指向轴的负方向．

在第三章已知该振动当时，，即振动是衰减的．在相平面上反映出相点是当时，趋向原点（静止状态）．运动是衰减的特性，用定性法所得与第三章所讨论的相同．

从以上两例讨论可知，把运动的定性性质可以用相点在轨线上运动来刻划出来，说明用定性理论的思想方法来研究运动是有效的、可行的．

在6.1.2中，关于定常系统运动的特性及应的轨线特性，我们举例说明，便于学员理解．注意！！并非证明．

i）定常系统

初始条件：

（2）

上述初值问题的解为

（3）

（9）式为定常系统（7）确定的速度场的一个运动．现将换成，则得

（4）

可直接验证（10）是微分方程组（7）的解．且满足初始条件：

因此（10）也是定常系统（7）的一个运动．

ii）从（3）和（4）消去得到两个运动在相平面上具有相同的轨线：．但（3）和（4）的确表示两个不同的运动，其区别在于：运动（3）在时刻经过点（1，0），而运动（4）在时刻即经过点（1，0）．换句话说，如果，那么运动（4）始终超前于运动（3）一段时间．如果，那么运动（10）始终落后于运动（4）一段时间．

iii）从（1）消去得，初始条件：. 而（15）的积分曲线为．由ii）已知定常系统（1）的轨线也是．因此定常系统（1）的轨线就是（ii）的一条积分曲线．

iV)  即使定常系统

处处满足存在唯一性定理的条件，但方程

却不一定

例如：定常系统

（16）

显然方程处处满足存在唯一性定理的条件，且有唯一解：．但方程

在原点（o、o）处，（o、o）=0、Q（o、o）=0，方程（17）的右端是不定式，解的唯一性在O（o、o）被破坏．

事实上，方程（14）的积分曲线族（定常系统（15）的轨线族）是．

其中是任意常数．在O（o、o）解虽然存在但不唯一因为可取任意常数，不能由初始条件唯一确定．

V）我们关注的正是使的点，这样的点称为定常系统（15）的奇点．

把奇点也可看作为一种特殊的轨线，在定常系统（16）中，方程的解是三维空间中过点的一条积分曲线，其参数方程为

而该积分曲线是是正半轴．它在相平面上的投影是一个点.　它是一个运动，但该运动实际上固定不动，是特殊的运动．如果另一轨线能进入奇点，只有当时，否则被破坏方程（15）的解的唯一性．

由（15）的解的唯一性可知，任何两条轨线如果有一公共点，则它们必定重合．因此我们看到，微分方程组（5）的任何两个解所对应的两个轨线，它们或者重合，或者是永不相交．

定常系统（15）及所对应轨张的特性可以证明如果学员有兴趣可参看·布朗著，张鸿林译《微分方程及其应用》（下册），人民教育出版社1980年出版．

3．方程

在变换

下，由于

上式是关于的一次代数方程组，解出即得

上式是微分方程组（18）在极坐标下的形式．

4．例3　判断方程奇点的类型

例3　判断方程奇点的类型

解　因为

的系数的行列式有唯一的．即（16）有唯一的奇点（0,0）．

将（16）化成约当型．先求特征根得

其次求，的特征向量满足方程：

取，则．故

特征向量为．对应的特征向量满足方程：

取则．故的特征向量为.

由于两特征向量线性无关，故矩阵为

由求逆矩阵的方法可知为

故

由于，故；

由于，所以

即

在平面上有奇点（o、o），由于特征根是不等的负实根，故在平面上有奇点（o、o）是稳定的结点．

由于即

即

因此平面上坐标轴，变到平面上为两条直线：

由于方程组（10）的解为

又由于，即

故微分方程级（9）的通解为

（11）

当时，，奇点在平面上是稳定结点．

特别，当时,  代入（11）得，，故微分方程组（9）过点（1，2，0）的积分曲线为

消去得在平面上的轨线，对应于平面上的轴．其轨线方向由微分方程组（9）右端可得，它是指向原点．

特别：当时,  代入（11）得，故微分方程组（9）过点（3，14，0）的积分曲线为

消去得在平面上轨线为，对应于平面上的轴．而轨线方向由微分方程组（9）的右端可得它是指向原点．