复变函数论的出发点是复数．

复数的基本定义及结论

每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；

和分别称为的实部和虚部，

,y分别记作，．

复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等．

复数的四则运算定义为：

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C．C也可以看成平面，我们称为复平面．

复数的模定义为：

；

复数的辐角定义为：

；

复数的共轭定义为：

；

复数的三角表示定义为：

；

在复平面中，我们可以定义一些基本集合．设，的-邻域定义为

设为的极限点，若中有无穷个点；为的内点，若，使得．

开集：所有点为内点的集合；

闭集:开集的余集我们称为闭集．

区域：

1、是开集；

2、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于．

复变函数的定义：

设，如果对于中任意以点，有确定的复数同它对应，则称在上定义了一个复变函数，记为．

注1　此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；

注2　同样可以定义函数的定义域与值域；

注3　复变函数等价于两个实变量的实值函数．

复变函数的极限：

设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数．如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，

，

则称为函数当趋于时的极限，记作：

复变函数连续性的定义：

如果成立，则称在处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续.

如果，，在处连续的充要条件为：

复变函数的导数:

设函数在点的某邻域内有定义，是邻域内任意一点，对于，如果极限

存在，为复数，则称在处可导，极限称为在处的导数，记作:

_.

解析函数：

如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；

如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数．

导数的四则运算：

.

关于解析函数的定义，有下面的注解：

注解1　解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；

注解2　函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析．

注解3　闭区间上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；

注解4　解析性区域；

注解5　四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等可以推广到复变函数求导的情形.

关于函数的解析性，有著名的Cauchy-Riemann条件：

函数在区域内解析的充要条件是：

1、实部和虚部在处可微；

2、和满足：

柯西-黎曼条件（简称C-R方程）

关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：

注解1　解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解；

注解2　解析函数的导数形式更简洁.

基本初等函数：

指数函数：

对于复数，定义为指数函数

由此有Euler公式：；

指数函数的基本性质：

1、函数在整个复平面内有定义并且解析，；

2、指数函数是实指数函数在复平面上的解析推广；

3、定义得

4、；

5、指数函数的代数性质（加法定理）：；

6、指数函数是周期为的周期函数；

7、指数函数的几何性质：

对数函数：

对数函数的基本性质：

定义复对数函数是指数函数的反函数：满足方程函数称为对数函数，记为.

注解 1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；

注解 2、.

多值函数的单值化：

1、由于，而是通常正数的自然对数，是多值函数，所以对数函数的多值性是由于幅角函数的多值性引起的，每两个函数值相差的整数倍；

2、象一样，取主值arg z，则得到Ln z的一个单值分支，记为ln z，也称为Ln z的主值，即，所以，

注解：当时，主值就是实变量的对数函数.

对数函数的基本性质：

1、对数函数的定义域为整个复平面去掉原点，是一个多值解析函数；

2、对数函数的代数性质：

3、对数函数的解析性质：对数函数的主值分支在除去原点和负实数轴的复平面上解析，并且有：

4、对数函数的几何性质：

幂函数的定义：

利用对数函数，可以定义幂函数：设是任何复数，则定义的次幂函数为：

当为正实数，且时，还规定.

幂函数的基本性质：

1、对应于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；

2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；

3、当（当是正整数）时，幂函数是一个n值函数；

4、当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；

5、当是有理数时，幂函数是一个值函数；

6、当是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数

三角函数

三角函数的定义：

利用Euler公式，我们有：，，所以定义和分别为复变量的余弦函数和正弦函数.

三角函数的基本性质：

1、和是单值函数；

2、和是以为周期的周期函数；

3、是偶函数，是奇函数；

4、

；

5、

6、和在整个复平面解析，并且有：

----复变函数的积分

设是复平面一条光滑简单曲线，其起点为，终点为。复变函数在上有定义.

1、分割　曲线任意分割为个小弧段，设分点为，其中；

2、近似求和　在每个小弧段上，任取一点，记，做和式:

3、取极限　设如果当时，上面和式的极限存在，且极限值部依赖的选取和对的分法，那么就称此极限为沿曲线自到的复积分，记为

关于复积分，我们有以下注解：

注解1　复积分对应于数学分析中的第二型曲线积分，沿相反方向的积分则有：

 注解2　如果是闭曲线，则记为，并规定正向为逆时针方向.

和数学分析类似，复积分具有以下性质：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)其中，L为曲线C的长度，在C上，

作为解析函数的基本性质，我们有下面著名的柯西积分定理：

Cauchy积分定理：设函数在单连通区域内解析，

（1） 设是内任一简单闭曲线，那么

（2） 设是内连接及两点的任一简单闭曲线，那么沿及的积分值由及所确定，而不依赖曲线，这个积分也可记为

关于柯西积分定理，我们有以下注解：

1、连通的条件不可直接取掉；

2、此定理是解析函数的最基本的性质之一；

3、形式上看，此定理是C-R方程的直接推广．

设函数在单连通区域内恒满足，则称为的一个原函数．关于解析函数的原函数，有下面的定理：

定理：如果函数是单连通区域内的解析函数，那么，由变上限的积分所决定的函数：

也是的解析函数，而且有．

柯西积分定理可以推广到多连通区域：

多连通区域上的柯西积分定理：

设与是两条简单闭曲线， 在的内部．函数在与所围成的区域内解析，而在上连续，则

基本思想如右图:

由此，我们也有下面的定理：

定理：设为多连通区域内的一条简单闭曲线，，,…, 是在内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以，，,…, 为边界的区域全含在内．如果函数在内解析，则有：

其中，，,…, 均取正向；也有

这里，为由及，,…, 所组成的复合闭路径，其方向是：按逆时针方向，，,…, 按顺时针方向．

设在以圆为边界的闭圆盘上解析．由柯西定理，有，考虑积分

由于被积函数在积分曲线上连续，所以积分存在．当时；的值于无关，记，则有

因此，我们有下面的柯西积分公式：

柯西积分公式：

设函数在简单闭曲线所围成的区域内解析，在上连续，内任意一点，则：

关于柯西积分公式，有下面的注解：

注解1　此定理表明，解析函数的值由其边界上的值几乎决定；

注解2　利用此定理我们可以计算一大类复积分；

注解3　此定理的结论也是解析函数的最基本的性质之一；

利用柯西积分公式，有下面的解析函数的高阶导数公式：

高阶导数公式  设函数在简单闭曲线所围成的区域内解析，在上连续，则在内有任意阶导数，并且任意导数均在内解析，对内任意一点，有：

注解1  此定理表明，解析函数是任意阶可导的；

注解2  用此定理我们可以计算解析函数的导数；

注解3  用此定理我们可以计算一大类积分.

柯西不等式

设函数在区域内解析，又在内有，则

在全平面解析的函数，我们称为整函数，关于整函数，有著名的刘维尔定理：

刘维尔定理：

如果函数在全平面内解析，并且有界，则连续为常数.

对于柯西定理的逆定理，我们有下面的莫勒拉定理：

莫勒拉定理：

如果函数在区域内连续，并且对于内的任一条简单闭曲线，我们有:

那么在内解析.

一、复数序列的极限

设是一个复数序列，其中，是一个确定的复数.如果对任意的，存在，使得当时，总有：

成立，则称复数序列收敛于复数，或称以为极限，记为

或.

如果序列不收敛，则称发散.

二、复数项级数

设是一个复数序列，则

称为复数项级数．如果它的部分和序列：

有极限，则称此级数是收敛的，称为级数的和；

如果无极限，就称此级数是发散的.

 三、复变函数项级数的敛散性

设是区域复变函数序列，则称

为区域内的复变函数项级数．该级数的部分和为：

设为区域内一点，如果存在，则称此级数在处收敛，记为

一般地，若级数在区域内处处收敛，级数的和是内的一个函数即

四、幂级数的定义

对于复常数与，级数

称为幂级数，和实变量幂级数一样，我们可以研究复变量幂级数的收敛区域．

定理（阿贝尔定理）

如果幂级数

在点，则它在圆内绝对收敛．

Abel定理的几何意义

（1）如果幂级数

在点收敛，那么该级数在以为中心，以为半径的圆盘内部任意点处也一定收敛；

（2）幂级数

在圆周及其外部的敛散性，除点为外，必须另行判定.

收敛半径的定义与求法：

在数学分析中，我们对幂级数

定义了收敛半径，这个收敛半径我们也定义为幂级数的收敛半径．关于收敛半径的求法，有（规定当时，，当时，）

(1) 比值法：若，则幂级数的收敛半径；

(2) 根值法：若，则幂级数的收敛半径；

(3) 根值法：若，则幂级数的收敛半径．

五、一般函数展开为幂级数的方法

1、复数项幂级数也可以进行四则运算：

若

则在内，这两个幂级数可以进行四则运算.

2、利用定义可以求函数的幂级数展开式；

3、一般地，我们利用已知函数的幂级数展开式，经过恒等变形和幂级数的四则运算，也可以间接的求此函数的幂级数展开式.

幂级数的收敛性质：

（1）、幂级数的和

在收敛圆内部是一个解析函数；

（2）、在收敛圆内部，幂级数的和函数可以逐项求导数及积分.

六、定理（泰勒定理）

设函数在区域内解析，为内一点，为到的边界上各点的最短距离，则当时，可以展开为幂级数：

注解1和数学分析类似，定理中的展开式称为的泰勒展开式；

注解2 泰勒展开式式唯一的；

注解3泰勒展开式的收敛半径至少等于从到的边界上各点的最短距离；

注解4如果在内有奇点，则泰勒展开式的收敛半径于从到最近的一个奇点的距离，即；

注解5 函数在解析的充要条件是，它在的某各邻域内可以展开为泰勒展级数．

基本展开式

(利用这些基本展开式，可以求大量函数的泰勒展开式):

七、定理(罗朗定理)：

设函数在圆环域内处处解析，则一定能在此圆环域中展开成：

其中

而为此圆环域内绕的任一简单曲线.

八、孤立奇点的定义与分类：

设是的孤立奇点，则在内，可以展开为罗朗级数：

根据展开式中主要部分（负指数求和部分）的系数情况，可以对孤立奇点分类：

（1）可去奇点：若对一切，，则称是的可去奇点；

（2）极点：若只有有限个整数，，则称是的极点；设对于正整数，，而当时，，则称是的-阶极点；

（3）本性极点：若有无限个整数，，则称是的本性极点．

定理设函数在内解析，则有

（1）是的可去奇点的充要条件是：存在极限，其中是复常数；

（2）是的极点的充要条件是：；

（3）是的阶极点的充要条件是：

，

其中是一个正整数，是非零复常数．

九、解析函数的零点与极点的关系

若，在处解析，且，是一个正整数，则称是的阶零点.

定理若函数在处解析，那么为的阶零点的充要条件是：

是的阶零点，则就是的阶极点，反之也成立.

第四讲 解析函数的应用

----留数、积分计算与保形映射

设函数在区域内解析，选取，使得，记，如果是的孤立奇点，则定义在孤立奇点处的留数为：

留数定理设是复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线.函数在区域内除去有孤立奇点外，在每一点都解析，并且它在上每一点都解析，那么我们有：

留数的计算：

1．是的一阶极点

若还有

，

则

2．是的k阶极点；

1. 形如的积分计算：

令，则，

函数是, 的有理函数，在关于连续变化；当由0变到时，沿正向变化一周，所以当函数

在积分路径上无奇点时，有

2. 形如的积分计算：令

(1) 比至少高两次，即；

(2) 在实数轴上无零点；

(3) 在上半平面内的极点为，则有

3. 形如（）的积分计算：

若为真分式，在实数轴上无奇点，则

用此，我们也可以计算积分

和

儒歇定理(解析函数零点的估计)：

设函数和在简单曲线上及内解析，且在上，则在内，和有相同个数的零点.

保形映射

设在区域内解析，如果当时，有，则称为保形映射.

注1保形映射双方单值映射（单叶）；

注2 设在区域内解析，且，若它还是双方单值映射，则它是保形映射.

基本问题：

问题一对于给定的区域和定义在上的解析函数，求象集，并讨论是否将保形地映射为；

问题二给定两个区域和，求一个解析函数，使得将保形地映射为；

问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域.

边界对应原理

设区域的边界为简单闭曲线，函数在上解析，且将双方单值地映射为简单闭曲线.当沿的正向绕行时，相应的绕行方向定为的正向，并令是以为边界的区域，则将保形映射为区域.

注解1  解析函数把区域变成区域；

注解2  边界对应确定映射函数；

注解3  注意边界对应的方向性.

保形映射的存在唯一性

Riemann存在唯一性定理  设与是任意给定的两个单连通区域，它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数，把保形地映射为.

如果和内再分别任意指定一点和，并且任给一个实数，要求函数满足，且，则映射是唯一的.

最简单的保形映射--分式线性函数

（为复数，且）。

由于当时，有

，

而当时，有

，

所以分式线性函数可以分解为以下四种简单映射的复合：

(1) （为复数）；

(2) （为复数）

(3) （）；

(4) 。

分式线性映射基本性质：

1、分式线性函数是在扩充复平面上的保形映射；

2、（保圆性）在扩充复平面上，分式线性函数能把圆变成圆；

3、（保对称点性）设、关于圆对称，则在分式线性映射下，它们的象点、关于圆的象曲线对称.

唯一决定分式线性映射的条件

定理在平面上任给三个不同的点、、，在平面上任给三个不同的点、、，则存在唯一的分式线性映射，把、、分别依次映射为、、.

推论1如果或中有一个为，则只须将点对应公式中含有的项换为1.

推论2设是一个分式线性映射，且有及，则它可以表示为

特别地，若时有

几个基本分式线性映射：

1. 上半平面到单位圆的映射：

其中为待定的实常数.

2. 单位圆到上半平面的映射：

3. 单位圆到单位圆的映射：

其中为待定的实常数.