一、基本要求
掌握集合、映射、代数运算、代数结构、同态、同构、二元关系、等价关系、集合分类基本概念。
掌握半群、幺半群、群、周期、循环群、变换群、置换群、子群、陪集、不变子群、商群基本概念。
掌握环、交换环、有单位元环、零因子环、整环、除环、域、无零因子环的特征、子环、理想、商域、素理想、极大理想基本概念。
理解双射、单射、满射的等价条件、偏序集、单群、单环、左理想、右理想。
掌握群、环同态第一定理、理解群、环同态第二定理。
掌握等价关系、子群、不变子群、子环、理想的判定方法、Cayley定理、Lagrange定理、主理想的表示形式。
理解四元数环、多项式环、分式环的构造。
掌握常见的具体的几个群、环,如整数群、整数环、模n剩余类群及环、3次对称群、矩阵环。
二、重点、难点
重点:群及重要的几个群、环、理想的概念及判断方法。
难点:偏序集、置换群、群的同态定理、无零因子环的特征、环的同态定理。
三、典型题讲解
1、判断下列二元关系是否是等价关系:,、、、。
提示:不是等价关系,因为,即不具有反身性,尽管具有对称性、传递性;是等价关系,因为具有反身性、对称性、传递性;不是等价关系,因为,即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性;不是等价关系,因为,即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性。
2、设、{所有偶数},•是普通数的乘法。证明:与不同构。
提示:若与同构,设是使其同构的同构映射。设,那么,所以。若,则,显然矛盾;若,即,则,这样就有-1,1的象都是0,这与是一一映射矛盾。所以,与不同构。
3、分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子。
提示:是无单位元的半群;设,是具有左单位元但无单位元的半群;其中分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法。
4、一个有限群的每一个元的阶都有限。
提示:设G是有限群,任取,则不能全不相同,因G中只有有限个元素之故。设,则,是自然数。命,则A非空,而自然数的非空集合有最小元,设A的最小元为m,则,即m是a的周期。
5、设G群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则G是交换群。
提示:,因,而,故,由消去律知;任取,则有,又,但,故,进而,即G是交换群。
6、设a的周期为m、b的周期为n,,且,则ab的周期为mn。
提示:设ab的周期为k。由于,故,又,而,故,但,故。同样可得,再一次利用,有,则有,即ab的周期为mn。
7、证明:阶是素数p的群G一定是循环群。
提示:因,故存在,a的周期为,又,而p是素数,则,即。
8、假定群G的元a的周期是n。证明的周期是,这里是r和n的最大公因子。
提示:首先;其次,若有自然数m,使得,则,故,又,故有整数使得,且,那么,即,但,故,即,从而。
9、假定群G的阶为n,且。证明,这里。
提示:因,故存在整数使得,这样,有,故是G的一个生成元,从而。
10、已知置换、。求σ的阶;求及其阶;将表示成形式为的2轮换的乘积。
提示:因为,且、,故。因为,故,从而。因为,,所以。
11、一个群G的可以写成形式的元叫做换位子,证明:(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合C是G的一个不变子群,称为G的导群或换位子群;(2)G/C是交换群;(3)若N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么。
提示:由于,;C的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是C的一个元;一个换位子的逆仍是一个换位子,所以C的一个元的逆仍是的C一个元,这样C是G的一个子群;对于,,所以C是G的一个不变子群。令,那么,由此得,即,因而G/C是交换群。因为G/N是交换群,所以对G的任何两个元a和b,,由此得,这样N含有一切换位子,因而N含有C。
12、证明:有限整环是一个域。
提示:设R是一个有限整环,任取,能证存在即可。考虑R到R的映射,此处x是R的任意元。由于R中乘法消去律成立,故。设R含有n个元,那么也含有n个元,故,即f是R到R的一个双射,从而存在,使得,即,故有限整环R是一个域。
13、假定R是由所有复数是整数)作成的环。环有多少元?证明:是一个域。
提示:R是一个有单位元的可换环,那么理想的元素形式为,注意到同奇偶性;而且对任意的,且的奇偶性相同,设,即,则,因此由一切组成,其中同奇偶性。由此可见对任意的,只要同奇偶性,恒有;若,且奇偶性不相同,恒有,即,从而是仅含有两个元的域,即。
14、假定F是一个四个元的域。证明:(1)F的特征值是2;(2)F的不为0或1的两个元都适合方程。
提示:F的特征p是F非零元的周期,并且p是一个素数;F作为加群的阶是4,且,因此。乘群的阶是3,因而是一个循环群,而的元是,这样,其,加法运算表必为:
有,。因此F的不等于0或1的两个元都适合方程。
15、假定是整数环R上的一元多项式。写出的理想所含元素形式。证明不是主理想。证明:若R是有理数域,那么是一个主理想。
提示:因为是有单位元的可换环,所以由所有形如的元作成,即刚好包含所有多项式。假定是主理想,即,那么,因而。但由可得,即、,这样是矛盾的。若R是有理数域,那么包含有理数,于是,因而它的理想含有单位元1,因此等于主理想(1)。
16、环R上的一个一元多项式环。当R时整数环时,的理想是不是最大理想?当R是有理数域的时候,情形如何?
提示:考察的理想,由于的元都可以写成的形式,其中,所以显然有。当R是整数环时,不是一个主理想,因而,因此不是一个最大理想。当R是有理数域时,设N是的一个理想并且、,那么有,由此得,因此,因而,这就是说,在这一情形下是一个最大理想。
17、假定R是偶数环,证明:所有整数是R的一个理想N。等式对不对?证明:是R的最大理想,但不是一个域。
提示:显然N非空,令是N的任意两个元,由于偶数减偶数还是偶数,所以,令r是R的任意元,由于偶数乘偶数还是偶数,所以,因此N是R的一个理想。由于,而,所以。(4)刚好含有一切,这里n是整数。设N是R的一个理想,并且,,那么有,由此有,,则,这就是说(4)是R的最大理想;在中,而,因此有零因子,因而不是一个域。
18、设有理数域F上的全部矩阵环为。证明:只有零理想同单位理想,但不是一个除环。
提示:设N是的一个理想并且,那么N含有2阶矩阵。若A的秩是2,那么A有逆,而,此时;若A的秩是1,则存在可逆矩阵P和Q,使得,又,因此,因而也有,这就是说只有零理想同单位理想,但,所以有零因子,因而不是一个除环。
19、假定有一个环R的分类,而S是由R所有的类作成的集合。又假定、规定两个S的代数运算。证明:[0]是R的一个理想,并且给定的类刚好是[0]模的R剩余类。
提示:设,那么、,于是、、,因此,故[0]是R的一个理想。设,那么,因而;反之设,那么,,所以,当且仅当,这就是说给定的类刚好是[0]模的R剩余类。
20、找出模6的剩余类环的所有理想。
提示:的所有理想有4个,它们为。
掌握素元、唯一分解、唯一分解整环、主理想环、欧氏环、本原多项式基本概念。
掌握素域、扩域、单扩域、代数扩域、单代数扩域、分裂域、有限域的基本概念。
理解唯一分解整环上的多项式分解定理,并掌握有限域的特性。
二、重点及难点
重点:唯一分解整环的性质、单代数扩域、有限域。
难点:唯一分解整环上的多项式分解定理、代数扩域、分裂域。
1、设整环I刚好包含所有可以写成(m是任意整数,的整数)形式的有理数。问I的哪些元是单位?哪些元是素元?
提示:I的元总可以写成的形式,其中i是整数、u是奇数,。设是I的一个单位,那么存在,使得,即,由于I的元都有形式,必有或-1,而;反过来,设,那么ε有逆元,则ε是I的单位,所以I的单位是一切可以写成形式的元。要看I的元是不是I的素元,只须看它的相伴元u是不是I的素元。若奇数u在整数中不是素元,那么有,此处和都是不等于的奇数,因而知,都不是I的单位,这就是说,u也不是I的素元;若奇数在整数环中是一个素数,而在I中有,此处和都是奇数,那么必有、。于是u由于是素数,则和中必然有一个是1或-1,那么和中必然有一个是I单位,这就是说,u也是I的素元,所以I的素元是一切可以写成的形式,其中u是奇素数。
2、I是刚好包含所有复数(a、b是整数)的整环。证明5不是I的素元。5有没有唯一分解?
提示:I的一个元ε是单位,当且仅当。假定是一个单位,那么存在,使得,进而有,但是一个正整数,同样也一个正整数,因此有,反过来,假定,那么可得、-1、i、-i,这就是说,ε显然是单位。故I只有4个单位,就是1、-1、i、-i。适合条件的I的元一定是素元。首先,既然,,并且知,α也不是单位,假定β是α的因子:,那么,因此或5;若,β是单位,若,那么,γ是单位,因而β是α的相伴元,这样α只有平凡因子,α是素元。5不是的素元并且5有唯一分解。由于,而,上式给出5的一个因子分解,因而5不是I的一个素元。设,是5在I中的任一个因子分解,那么由于5不是素元,。另一方面,,由于不是单位,是不等于1的正整数,所以,这时必是的形式,并且,由此易知,5只有四种相伴因子分解:,由于1、-1、i、-i都是I的单位,所以5有唯一分解。
3、假定在唯一分解整环I里,其中不全为零。证明:d是的一个最大公因子,当且仅当互素。
提示:假定d是的一个最大公因子,令t是的任一个公因子,那么dt是的一个公因子,因而,由此得,因而t是一个单位,所以只有单位公因子,即互素。假定d不是的一个最大公因子,令c是的一个最大公因子,那么,此处h不是一个单位,于是对有,由于不全为零,得,因而,即h是的一个非单位公因子,这就是说,不互素,故d是的一个最大公因子。
4、假定I是一个整环,和是I的两个主理想,证明:当而且只当b是a的相伴元。
提示:设,那么,所以,同样有,因而。若,那么,显然b是a的一个相伴元;若,那么,t是一个单位,而b也是a的一个相伴元。设b是a的一个相伴元,那么,t是一个单位。由此得,但,所以,这样。
5、假定I是一个主理想环,那么I的一个素元p生成一个最大理想。
提示:假定N是包含并且比大的理想。由于I是主理想环,即有,因而a是p的因子,但p是素元,所以a不是p的相伴元,就是单位。如果a是p的相伴元,那么,这与N大于的假定矛盾,所以a只能是单位,即,这样,因此I的一个素元p生成一个最大理想。
6、一个主理想环I的非零最大理想都是由一个素元所生成的。
提示:设是I的一个非零最大理想,那么由,得a不是I一个单位;由是一个I的非零理想,得。若a不是一个素元,那么,其中b是a的一个真因子,于是,又由于b不是a的相伴元,;但由于b不是单位,,这样不是I的一个最大理想,与假设矛盾,所以主理想环I的非零最大理想都是由一个素元所生成的。
7、欧氏环一定是主理想环,因而是唯一分解整环。
提示:设U是欧氏环I的一个理想,若U只含有零元,则U即是I的主理想。若U含有非零元,由I是欧氏环,则存在到N的映射φ,令,则,且A非空,所以A中有最小者,设为。这样,对,都有。现在证明。因为I是欧氏环,故,使得。若,则,而,这与是最小者矛盾,所以,即,这样,故欧氏环一定是主理想环。
8、是刚好包含所有复数(a,b是整数)的整环,即高斯整环。证明是欧氏环。
提示:令N是一切大于等于0的整数作成的集合。,那么φ是到N的一个映射。令是的一个元,那么在复数域中α有逆元。令是的任何一个元,那么,而,其中和是有理数,可以找到整数k和l,使得,因而。令,那么,由于β,,所以,这里或者,即。所以是一个欧氏环。
9、假定I是一个唯一分解整环,Q是I的商域。证明:的一个多项式若在里可约,那么它在里也可约。
提示:令是的一个多项式,并且在里可约,又可写成,这里是的一个本原多项式;因为d是Q的一个单位而在里可约,所以在里可约,由引理3知,从而在里也可约。
10、假定R是模16的剩余类环,的多项式在R里有多少个根?假定F是模3的剩余类环,是的多项式。证明:不管a是F的哪一个元,都有。
提示:在R里有4个根,即[0]、[4]、[8]、[12],这是因为是的根,则需。由于,所以不管a是F的0、1或2,均有。
总结 二次数环是整环,但不是唯一分解整环;是唯一分解整环,但不是主理想环;是主理想环,但不是欧氏环。
11、任何域E都含素域。
提示:设E的单位元用e表示,令,显然,而且至少包含两个元0和e。令,即,φ是整数环Z到的同态满射。若E的特征是,则,那么φ是单射,即φ是同构映射,也是整环,E包含的商域,又同构的环商域也同构,即Z的商域有理数域Q同构,而Q是素域,那么也是素域,故E包含素域。若E的特征是素数p,由φ是同态满射,有。下证,首先,因此;另一方面,是Z理想,而p是Z的素元且Z是主理想整环,所以是Z的极大理想,所以,或,但是,所以,即,又,即,而是素域,所以是素域,故E包含素域。故综上所证,可得任何域E都含素域。