高等数学课程学习指南（上册）

第一章　函数与极限

第一节　函数

一、集合、变量与常量

重点：区间及其表示，邻域（包括δ邻域和去心邻域）。

要求：掌握分别用区间、邻域和不等式表示变量的变化范围。

二、函数的概念

1．函数的定义

定义域

自变量

因变量

值域

函数在某点的函数值（注意函数值与函数的区别）

多值函数与单值函数

要求：掌握函数及相关的几个概念；

理解和使用函数的记号；

会区分不同的函数；

会求函数的定义域；

会计算函数值。

2．几种常见的函数

常数函数

绝对值函数

符号函数

取整函数

三、函数的几种特性

1．有界性

2．单调性

3．奇偶性

4．周期性

要求：掌握函数的几种特性；

会判断函数的特性，如判断函数的奇偶性、周期性、有界性，求函数的单调区间，等等。

四、反函数

1．反函数的概念

2．反函数的单值条件

3．反函数的图像

要求：会求反函数。

第二节　初等函数

一、基本初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

要求：掌握五类基本初等函数的定义域和值域，它们的函数特性，函数图像及常用的计算公式。

二、复合函数

复合函数的定义

两个函数可以复合成复合函数的条件

三、初等函数

初等函数的概念

四、双曲函数和反双曲函数（不考）

第三节　数列的极限

一、数列的概念

数列

数列的一般项

二、数列的极限

1．定义

要求：用定义证明简单数列的极限。

2．收敛数列的性质

极限的唯一性

收敛数列的有界性

子数列的收敛性

第四节　函数的极限

一、自变量趋于有限值时函数的极限

1．定义

2．极限的局部保号性（定理1，定理1’，定理2）

3．单侧极限

二、自变量趋于无穷大时函数的极限

1．定义

2．极限的局部保号性

第五节　无穷小与无穷大

一、无穷小

1．定义

2．函数极限与无穷小的关系（定理1）

二、无穷大

1．定义

2．无穷大与无穷小的关系（定理2）

第六节　极限的运算法则

一、无穷小的运算性质

有限个无穷小的和、差（定理1）

有界函数与无穷小的积（定理2）

常数与无穷小的积（推论1）

有限个无穷小的积（推论2）

二、函数极限的运算性质

和、差、积、商（定理3，4，5及定理4的推论1，2）

三、数列极限的运算性质（定理6）

四、不等式的极限运算性质（定理7）

五、复合函数的极限运算法则（定理8）

第七节　极限存在法则 两个重要极限

一、极限存在法则

夹逼准则（法则I，法则I’）

单调有界原理（法则II）

二、两个重要极限

要求：掌握下列七个极限公式：

第八节　无穷小的比较

一、定义

高阶无穷小

低阶无穷小

同阶无穷小

k 阶无穷小

等价无穷小

二、等价无穷小的性质

定理1、定理2

三、利用等价无穷小求极限

定理2表明，在求两个无穷小之比的极限时，可把其中一个或两个无穷小换成与它们等价的无穷小而不改变无穷小之比的极限。

第九节　函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1．函数在一点的连续性

包括连续性的ε-δ定义

2．左连续和右连续的概念

3．区间上的连续函数

函数在开区间、闭区间及半开区间上的连续性

二、函数的间断点

1．间断点的定义

2．间断点的分类

第一类：包括可去间断点和跳跃间断点。

第二类：不是第一类间断点的任何间断点，一概称为第二类间断点。

第二类间断点的特点是点x₀处左右极限中至少有一个不存在。

无穷间断点和振荡间断点都是第二类间断点（包括无穷间断点，振荡间断点等）。 

第十节　连续函数的运算和初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

定理1、2、3

二、反函数的连续性

定理4

三、复合函数的连续性

定理5、6

要求：掌握利用复合函数连续性求极限的方法。

四、初等函数的连续性

1．基本初等函数的连续性

定理7 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。

2．初等函数的连续性

定理8 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

定理8提供了利用初等函数的连续性求极限的一个方法，即若f(x)是初等函数，且x₀是f(x)的定义区间的点，则当x→x₀时f(x)的极限就是

f(x₀)。

第十一节　闭区间上连续函数的性质

一、最值性（定理1）

二、有界性（定理2）

三、介值性

零点定理（定理3）

介值定理（定理4）

介值定理的推论

第一章求极限问题的小结。

本章所学的求极限的方法主要有以下几种：

1．根据极限的定义求极限。

2．利用极限的四则运算法则（包括无穷小的运算法则）求极限。

3．利用夹逼准则求极限。

4．利用单调有界原理求极限。

5．利用两个重要极限（）求极限。

6．利用等价无穷小的性质求极限。

7．利用复合函数的连续性求极限。

8．利用初等函数的连续性求极限。

第二章　导数与微分

第一节　导数的概念

一、导数的定义

定义：设函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处取得增量△x(点x₀+△x仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量△y=

f(x₀+△x)—f(x₀)；如果△y与△x之比当△x→0时的极限存在，则称函数y=f

(x)在点x₀处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数。

二、导函数的概念

三、导数的几何意义

要求：会求曲线的切线方程和法线方程。

四、可导性与连续性的关系

第二节　函数的和、差、积、商的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、三角函数的导数公式

第三节　反函数的导数 复合函数的求导法则

一、反函数的导数（定理1）

二、反三角函数的导数公式

三、复合函数的求导法则

1．有限增量公式

Δy = f’(x₀) + αΔx

2．复合函数的求导法则

要求：会应用复合函数的求导法则求函数的导数。

第四节　初等函数的求导问题

一、常数函数和基本初等函数的导数公式

16个公式（课本第120页）。

二、初等函数的可导性

所有初等函数在其定义区间内均可导。

三、双曲函数与反双曲函数的导数（不考）

第五节　高阶导数

一、高阶导数的概念

一阶导数的导数叫做二阶导数：y’’=(y’)’

n-1阶导数的导数叫做n阶导数：y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’

二、几个初等函数的n阶导数

1．指数函数（包括以e为底的指数函数）的n阶导数

2．正弦函数与余弦函数的n阶导数

3．对数函数（包括自然对数函数）的n阶导数

4．幂函数的n阶导数

三、n阶导数的运算法则

1．加法法则

2．莱布尼茨公式（不考） 

第六节　隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数的导数

1．隐函数的概念

2．简单隐函数的求导

二、由参数方程所确定的函数的导数

1．一阶导数

2．二阶导数（不考）

第七节　函数的微分

一、微分的定义

二、几何意义

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1．基本初等函数的微分公式

第145页（15个）

2．微分运算法则

第146页

3．复合函数的微分法则（微分形式不变性）

第八节　微分在近似计算中的应用

原理：若f’(x₀) ≠ 0  |Δx| 很小，则Δy ≈dy．

要求：理解误差的基本概念，会解决简单的实际问题。

第三章　中值定理与导数的应用

第一节　中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日定理

1．定理及简单应用

2．定理：f ’(x)在区间I上恒为零，则f (x)在区间I上是一个常数。

三、柯西中值定理（不考）

第二节　洛必达法则

一、不定式

不定式的几种常见类型

二、洛必达法则

三、不定式的求法

1．利用洛必达法则

2．恒等变形

3．对数法

第三节　泰勒公式

一、泰勒中值定理

拉格郎日余项

二、麦克劳林公式

sinx，cosx，tanx的麦克劳林公式 

第四节　函数单调性的判别法

一、判别法

二、讨论函数的单调性

第五节　函数的极值及其求法

一、极值的定义

二、必要条件（定理1）

三、第一、第二充分条件（定理2、3）

要求：会求函数的极值。

第六节　最大值、最小值问题

方法：第一步：根据题意建立目标函数；

第二步：求驻点；

第三步：比较。

第七节　曲线的凹凸与拐点

一、图形凹、凸的定义及其判断

二、拐点的定义及其求法

第八节　函数图形的描绘

利用导数描绘函数图形的一般步骤：第一步-----第五步。

第九节　曲率

一、弧微分公式

二、曲率及其计算公式

1．定义

2．计算公式

3．曲线由参数方程所定义时的计算公式

第四章　不定积分

第一节　不定积分的概念及其性质

一、原函数与不定积分的概念

1．原函数的概念

原函数存在定理

2．不定积分的概念

二、基本积分表

第231页，共15个积分公式。

三、不定积分的性质

第二节　换元积分法

一、第一类换元法

二、第二类换元法

第三节　分部积分法

第四节　几种特殊函数的积分

一、有理函数的积分

二、简单三角函数有理式

三、简单无理函数

第五章　定积分

第一节　定积分的概念

第二节　定积分的性质

第三节　微积分基本定理

第四节　定积分换元法

第五节　定积分的分部积分法