《数值分析》不仅是高等学校数学专业的必修课，也是理工科中许多非数学专业的基础课程之一．它主要介绍进行科学计算的方法，即，在数字电子计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值处理的方法及其相关内容．这里，我们将重点学习数值计算的基本方法和原理，主要内容包括：插值法，数值积分和微分，非线性方程的求解，线性方程组的直接解法和迭代法，常微分方程数值解法等，计划60学时讲完．为了帮助参加网络学习的同学全面系统地学习这些内容，我们编写了这份学习参考指南．

这份学习指南给出了各个章节重点讨论的问题，相关的基本概念、基本方法和基本理论，指出了其中的重点和难点，以及诸多方法之间的区别和联系，而关于方法的推导、理论的证明和举例说明，在以后的课上我们将具体给出．

第一章  绪论

《数值分析》这门课又称为《计算方法》，和其他数学课程比较（例如数学分析，高等代数），它的实际应用性更强，研究思想方法上也不同．本章围绕什么是计算方法（数值分析）这一问题，重点学习计算方法的基本思想，以及相关的一些基本概念．

一.数值分析原理

1. 计算方法基本思想

将数学模型转化为数值问题，讨论相应的数值方法，进一步制定出相应的较好的算法，最后在计算机上编程实现，得到问题的数值解，讨论解的性质，并进行数值方法的分析（例如方法的可靠性，精确度和效率）．

2. 数值问题

由已知的一组数据（输入数据）和一定的条件关系，来求解一组数据结果（输出数据），使得两组数据满足给定的条件．

(注意：数值问题和数学问题的区别．)

3. 数值方法

用来求解数值问题的在计算机上可执行的一系列计算公式．

4. 算法

按步骤求解数值问题的具体过程，包括对输入数据的处理，判断数值解是否存在，用确定的运算规则求出数值解．特点：目的性，确定性，有限性，可执行性．

二. 误差分析

1. 计算机数系（浮点数系）

定点数：r进制，l位整数，m位小数的定点数x表示为

(例如，十进制定点数3.14, 123.4567等,二进制定点数0.1011, 1110.001等)

浮点数：r进制浮点数表示为 ，其中尾数s是整数部分为0的r进制小数（即|s|<1），阶数p为r进制整数；若s的小数位数为t，则称x为t位r进制浮点数；又若，则称x为规格化浮点数．

计算机数系：进位制r，阶数p满足，尾数s的小数位数为t的一切t位r进制浮点数的集合．

特点：(1) 范围有限

(2) 计算机数系中数的个数有限，且均是有理数

(3) 分布：整体不均匀，局部均匀

(4) 四则运算不封闭

2. 误差

误差源：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差

绝对误差（限）和相对误差（限）

有效数字

3. 算法设计的注意事项

(1)减少运算次数

(2) 注意计算机数的运算特点

(3)防止相近的二数相减

(4)控制误差的传播

(注: §1.2的预备知识在以后各章节中介绍)

第二章  方程求根

许多实际问题中，常常需要求解方程的根，其中可以是简单的多项式，也可以是任意的实函数，复函数，还可以含有导数，当是实系数多项式时，称为实代数方程，若是超越函数，称为超越方程．本章主要针对实代数方程和超越方程，介绍方程实根的几种数值解法．

问题： 求方程的根

其中，是实多项式或超越函数

一. 二分法

1. 适用条件

在区间上连续，且（保证了解的存在性）

2. 方法和步骤

平分有根区间，判断中点函数值的正负号，得到下一个较小的有根区间，由此构造一个有根区间套

，

当k充分大时，区间,的中点可以作为方程的根的近似值．

3. 近似误差

4. 收敛速度： 与等比数列的速度相同

(注：二分法不能求解重根和复根)

二. 迭代法(*)

1. 迭代法基本原理

设方程

(1)等价变形得方程

(2)由等价方程得迭代公式

(3)给出初始值，代入迭代公式得迭代序列

(4)讨论序列的收敛性，若

，

则就是原方程的根

3. 收敛速度（阶数）

定义： 当时，有

则称该迭代方法是p阶收敛的．

定理4  设迭代函数在方程根的附近有连续的p阶导数，且

则该迭代方法是p阶收敛的．

2. 迭代法的收敛性

压缩映像

设区间[a, b]上的函数g(x)，如果满足

    (1)

    (2)

其中L是小于1的正实数，则称g(x)是[a, b]区间上的压缩映像, L为压缩系数．

收敛性定理

定理1（压缩映像原理）如果是闭区间上的压缩映像，则

(1) 方程在区间有且只有一个根

(2) ，由迭代公式所得的迭代序列

{}收敛于方程的根

(3) k次近似误差估计

在压缩映像原理的基础上，可得以下收敛性定理

定理2  设迭代函数在上可导，且满足

(1)

(2) 存在正数，使得，有则，由迭代公式所得的迭代序列收敛于方程的根,且有误差估计式

定理3  设迭代函数在方程的根的某邻域内有连续的一阶导数，且，则由迭代公式所得的迭代序列具有局部收敛性．

三. 牛顿(Newton)法(切线法)(*)

1. 方法和几何解释

迭代公式：

迭代函数：

2. 收敛性和收敛速度

定理1设方程的根，如果函数在根的附近有连续的二阶导数，且，则当初值足够接近根时，Newton迭代法是收敛的，而且收敛阶数不小于2．

定理2（略）

3. 牛顿下山法

迭代公式：

其中称为下山因子，选择合适的下山因子，使得单调下降，进而保证收敛．

四. 割线法（弦截法）

1. 单点弦截法

2. 双点弦截法

五. 迭代加速法

Aitken加速方法

第三章  线性方程组的解法

在数学研究和工程应用中，常常需要求解方程组，特别是线性方程组的解，它也是我们计算数学中的一个重要问题．本章将学习线性方程组的数值解法，它包括两类：直接法和迭代法．其中，线性方程组的直接法，所得的解是精确解，运算次数有限，但是所需存储量比较大；迭代法所得的解是近似解，运算过程无穷，但是所需存储量不大．

问题: 求解n阶线性方程组

其中，系数矩阵

一. 基本概念（*）

1. 向量，矩阵的范数

(1)定义

(2)性质

(3)基本范数的计算

2. 条件数：

3. 谱半径：

4. 向量，矩阵的极限

(注意：以上概念之间的关系)

二. 直接法（*）

这里，我们主要掌握Gauss消去法，三角分解法．

1. Gauss消去法（顺序消去法）（*）

(1) 消元过程

(2) 回代过程

(注： 必须熟练掌握用Gauss消去法计算方程组的解)

2. Gauss主元素消去法

包括列选主元素法，全选主元素法

3. 三角分解（*）

三.迭代法（*）

主要包括Jacobi迭代法,Seidel迭代法．

1. Jacobi迭代法

(1) 分量形式的迭代公式

(2) 矩阵形式的迭代公式

设  A=D + L + U

其中

  ，        

为对角阵

则迭代公式

其中，

,B₁称为Jacobi迭代阵．

2. Seidel迭代法

(1) 分量形式的迭代公式

(2) 矩阵形式的迭代公式

其中，

,

B₂称为Seidel迭代矩阵．

3. 迭代法的收敛性

(1) （一般迭代法收敛充分必要条件）迭代阵B的谱半径迭代法收敛

(2) （一般迭代法收敛充分必要条件） 迭代法收敛

(3) （一般迭代法收敛的充分条件）迭代法收敛

(以上矩阵B为迭代法的迭代矩阵)

(1) 方程组AX=b的系数矩阵A是实正定对称阵Seidel 迭代法收敛

(2) 方程组AX=b的系数矩阵A严格对角占优 Jacobi迭代法和Seidel 迭代法均收敛

第四章  插值方法

函数是反映事物变化规律的数量关系的工具，但是实际问题中的函数往往比较复杂，很难给出其表达式．通常是通过测量，给出一些离散点的函数值或导数值，而插值方法就是，通过这些数据构造一个比较简单的近似函数,这样，我们就可以在此基础上，讨论它的变化趋势，单调性，导数，积分等．

一. 代数插值法

设是上的连续函数，已知它在上的n+1个互异点上的值,若代数多项式满足),则称是的插值多项式；称为插值结点；插值法就是求取插值函数的方法．

余项：表示近似程度．

本章主要讨论各种插值法的插值公式，唯一性和余项．

二. 拉格朗日()插值法(*)

假设在区间上给了n+1个两两互异的结点已知函数在结点处的值为,又设基本插值函数

则

1. 插值函数：过数据点(,), (,),…, (,)的Lagrange插值多项式为

它是次数不超过n，且经过数据点(,), (,),…, (,)的多项式；

2. 唯一性: 经过以上n+1个数据点，次数不超过n的多项式是唯一的．

(注： 由唯一性可知，只要经过相同的数据点，不论是用Lagrange插值，或者Netow插值，以及其它的插值法，所得到的次数不超过n的插值多项式都是相等的，其余项也相等．)

3. Lagrange插值余项:

,

其中

4. 基本Lagrange插值多项式的性质

5. Lagrange插值法的优缺点

优点：插值函数L(x)是一个多项式，故形式简单，充分光滑．

缺点：增加或减少结点时，插值函数L(x)变化很大；增加数据，不一定能提高插值精度．

三. 分段插值

分段插值是将插值区间[a,　b]分成若干小区间，然后在每个小区间上做低次插值．

1.分段线性插值（在每个分段小区间上，做一次Lagrange插值）

设[a,b]上的n+1个结点满足a<=<<…<<=b,已知结点处的函数值

(1) 插值函数

(2) 余项

：

(3) 分段线性插值函数的性质(三点)

2. 分段三次带导数(Hermite)插值

设[a,　b]上的n+1个结点满足a=<<…<=b,已知f(x)在结点处的函数值和导数值,

(1) 插值公式和余项

(2) 分段三次带导数插值函数的性质（三点）(*)

四. 样条(Spline)插值

1. 插值函数求解步骤

2. 样条函数的性质（三点）(*)

五、牛顿(Newton)插值(*)

1. 一般牛顿插值

假设在区间[a,　b]上给了n+1个两两互异的结点，…，,已知函数f(x)在结点处的值为，…,则

(1) Newton插值函数

(2) Newton插值余项

2. 等距结点牛顿插值

假设区间[a,　b]上n+1个互异的等距结点

，其中步长，

又令[a,　b]上的任意一点，

(1) 牛顿前插公式

(2) 余项

(3) 牛顿后插公式和余项

3. 带重合结点（带导数）的牛顿插值

(1) 带重合结点的差商

(2) 插值公式同一般牛顿插值公式．

(重点强调：利用牛顿插值法计算插值多项式(包括带导数和不带导数的插值))

六. 差分和差商

(一). 差分

1. 定义

2. 性质

3. 差分表的计算

(二). 差商(*)

1. 定义：f(x)的n阶差商

2. 性质

(a) 线性：若F(x)=cf(x),

则 F[，…，]=cf[，…，]；

若F(x)=f(x)+g(x),

则 F[，…，]=f[，…，]+g[，…，]

(b) 对称性：差商与所含结点的顺序无关

（例如:三阶差商 f[x₀,x₁,x₂]= f[x₁,x₀,x₂]= f[x₀,x₂,x₁]）

(c) 差商表的计算 （是计算牛顿插值的基础）

第五章数值积分和微分

《数学分析》或《高等数学》课程中，我们曾重点学习了用分析的方法计算函数的微分和积分，知道，当函数f(x)比较复杂，或者没有明确的表达式时，用分析的方法很难给出它的微积分，特别是求积分，它的原函数很难找到．所以，现在,在实际中，常常用数值的方法计算近似的微分和积分．本章主要讲述常用的数值积分和微分公式，重点是数值积分．

一.数值积分

问题：设区间[a,　b]上的互异结点x_i (i=0,1,…,n),已知f(x)在结点处的值为=f(x_i),求定积分 的值．

1. 插值求积公式（内插求积）

首先，过已知的数据点作插值，再对插值函数p(x)积分，则插值求积公式为

≈=

插值求积余项

其中，

为Lagrange插值余项．

2. Newton-Cotes插值求积公式 （*）

(1) n阶Newton-Cotes公式及余项

假设区间[a,　b]上n+1个互异的等距结点，其中步长

则n阶Newton-Cotes公式为

其中为Cotes系数．

插值求积余项公式同上．

(2) 代数精确度

(3) 梯形公式和抛物线(Simpson)公式

梯形公式（1阶Newton-Cotes公式）：

余项：

(代数精确度：1)

Simpson公式（2阶Newton-Cotes公式）：

3. 复合求积公式

(1) 复合梯形公式

将[a,　b]区间n等分，结点，

其中步长

，

在每个小区间[x_j,x_j+1]上用梯形公式求积，再求和即得复合梯形公式

余项公式：  ，  使得

(代数精确度：1； 截断误差：O(h²))

(2) 复合Simpson公式

将[a,　b]区间2n等分，2n+1个结点

，

其中步长

，

在每相邻两个小区间[x_j,x_j+1]上用Simpson公式求积，再求和得复合Simpson求积公式

余项公式：  ，  使得

(代数精确度：3；截断误差：)

4. Romberg积分

为了提高数值积分公式的误差精度，对复合梯形公式使用理查逊(Richardson)外推， 此即 Romberg求积．

Richardson外推公式

Romberg积分法的步骤

5. Gauss求积公式

如果选择勒让得(Legendre)正交多项式的零点作为结点，所得插值求积公式的代数精确度提高到2n+1，这就是Gauss求积．

正交多项式

Gauss求积公式

定理，…，为Gauss结点的充分必要条件是，…，是n+1次Legendre正交多项式的零点．

二.数值微分

1. 插值微分

2. 幂级数展开和数值微分

3. 常用数值微分公式

第六章  常微分方程的数值解法

《微分方程》课程重点讲述了微分方程的求解，我们知道，当方程的右端函数比较复杂时，解析方法是不可行的，此时只能用数值方法求解．这里，我们简要介绍常微分方程的数值解法，作为进一步学习的基础．

问题： 设一阶常微分方程初值问题

其中，是[a,　b]上的连续函数，且满足Lipschitz条件

，

(此时，方程的解存在且唯一，且在[a,　b]上连续可导．)

求以上方程的解．

一. 方法构造的途径

1. 差商逼近法

2. 数值积分法

3. Taylor展开法

二. 常用方法

1. Euler方法及其变形

2. 多步法

3. 预估-校正方法

4. Runge-Kutta方法

三.算法的相容性、稳定性与收敛性

1. 相容性（定义，判断条件）

2. 稳定性（定义，判断条件）

3. 收敛性（定义，判断条件）

[说明： 以上带*的部分是重点学习的内容]