学习指南

第三章　行列式

一、n阶行列式定义

由此定义可以看出：

阶行列式是项的代数和；

每一项是取自不同行，不同列的个元素的乘积；

每一项的符号由排列的反序数确定．

二、行列式的基本性质

三、行列式的按行（列）的展开

四、行列式的计算

1．基本途径

依据定义（P112，例1）

运用性质（P119，例2）

按一行（列）展开

2．常用方法和技巧

化为三角形行列式；

递推法；

把行列式拆分成若干行列式之和；

利用某些重要行列式的已知结果，如对角形行列式，三角形行列式，范德蒙行列式等。

五、克莱姆规则（注意适用范围）

AX＝b

第四章　线性方程组

在数域F上给定m×n线性方程组

AX＝b   (*)

第五章　矩阵

一、矩阵的定义

数域F上m×n个数排成的m行n列的数表

．

注意：从定义、形式、运算等方面区分行列式与矩阵．

二、矩阵的运算性质

1．相等

2．加法

3．数乘

4．乘法

注意：乘法的运算法则及特有性质：

交换律不成立；

有零因子．

5．矩阵的转置

6．矩阵的分块运算

三、矩阵的初等变换

1．初等变换与初等阵

换法矩阵Pij;倍法矩阵Di(k)(k≠0);消去矩阵Tij(k)

2．初等变换与初等阵的关系

矩阵的行初等变换相当于左乘相应初等阵，矩阵的列初等变换相当于右乘相应初等阵．

3．

4．

存在初等阵和，使

存在可逆阵，使．

秩A＝秩B（初等变换不改变矩阵的秩，定理４.2.1）

四、矩阵的秩

1．定义

2．秩的计算

计算各阶子式（通常计算量大）．

3．

五、逆矩阵

1．逆阵的定义

2．逆阵的性质

3．n阶阵A可逆的n个充要条件

4．逆矩阵的求法

初等变换法

公式法

注意：，

．

第二章　多项式

一、一元多项式的概念

1．定义

2．多项式的运算及性质

3．多项式的次数

在一元多项式f(x)中，系数不为0的x的最高幂指数称为f(x)的次数，零多项式是唯一不定义次数的多项式。勿与零次多项式混淆．多项式运算对多项式次数的影响．

二、整除性

1．带余除法（欧几里德除法）

2．最大公因式

任意两个多项式都存在最大公因式，而且如果不计较零次因式的差别，两个多项式的最大公因式是唯一的．

．

它是辗转相除法的理论基础．

但逆例题不成立．

求三个或三个以上多项式的最大公因式，可以先求两个多项式的最大公因式，再求它与第三个多项式的最大公因式，…如此继续，即得

3．互素

若，则说与互素．

性质

4．可约与不可约

若n(>0)次多项式f(x)可以表示成两个次数小于n的多项式的乘积，则说f(x)可约，否则说f(x)不可约．

可约性与系数所在数域密切相关．如在有理数域上不可约，而在实数域上，．

不可约多项式的性质

唯一分解定理

是任意次数大于0的多项式，则

其中是首项系数为1的，彼此不同的不可约多项式，为正整数，并且这种分解是唯一的，此分解式称为标准分解式．

复数域C，实数域R，有理数域Q上多项式的可约性

C上只有一次不可约多项式。在C[x]中任意多项式f(x)都可以分解为一次多项式之积。n次多项式在C中有n个根．

R上有一次及（具有共轭复根的）二次不可约多项式。任一多项式在R[x]中都可以分解为一次及二次多项式之积，实系数多项式复根成对．

Q上有任意次不可约多项式存在（例如：xn+2,n为正整数）．

5．学习方法提示

多项式环F[x]与整数环Z的整除性理论相似，经常可以类比．

注意与系数域的关系．

注意原命题成立，逆命题未必成立，谨防误用．

三、多元多项式

1．定义

2．对称多项式