实变函数论介绍

实变函数论是数学系的主要课程之一，它主要研究n-维欧氏空间中的集合、函数、极限与积分，是数学分析课程的直接推广，也是数学分析中一些未解决问题的进一步讨论，同时也是学习许多其它数学课程的基础.

实变函数论研究的起点是通过把通常的距离的概念加以推广，把我们学习过的一维空间、二维空间、三维空间推广为n-维欧氏空间.

在从中学开始的学习中，长度、面积、体积的定义一直没有严的定义，实变函数论所围绕的第一个基本问题是如何建立这些度量的严格定义，通过“测度论”讨论了这个问题，并给出了比较完满的解答.

同时，在数学分析中的学习中，Riemann可积函数类具体的构造如何，可积函数与连续函数的关系是什么，这个问题在数学分析中一直未解决. 实变函数论所围绕的第二个基本问题就是这个问题，并且给出一个完满的回答.

在数学分析中，连续、可积等问题实质上是极限的换序问题，而数学分析中要求很严格. 实变函数论围绕的第三个基本问题就是这个问题，证明了在较弱的条件下，积分和极限可以换序.

实变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，要紧紧围绕三个基本问题进行学习，掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通.

第一讲：集合与测度

一、集合的概念

实变函数论是建立在实数理论和集合论的基础上，在数学分析中我们已经学习了实数理论，下面介绍集合论的基本思想.

在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看成一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素.

设是一个集合，是的元素，我们称属于，记为，不是的元素，我们称不属于，记为.

集合相等是指它们具有完全一致的元素.

设、是两个集合，称为的子集，若中的元素一定属于，记为.

二、集合的基本运算

设、是两个集合，则有下面的运算，

并集；

交集；

差集；

余集若，则定义；

狄莫更公式，

三、集合的“个数”----基数

有限集只有有限个元素的集合；

无限集有无限个元素的集合；

集合的对等设、是两个非空集合，如果存在某个，则称集合和对等记为.

注解1  对等的概念是我们原来的记数方法的推广；

注解2  只有无限集合可以和它的真子集合对等.

基数对等的集合具有相同的基数，的基数记为；

可数集凡和全体自然数所成之集合对等的集合都称为可数集合，例如，下面的集合都是可数集合：全体偶数、全体奇数、全体有理数；

可数集是无限集中基数最小的集合.

不可数集不是可数集合的无限集合称为不可数集；则全体无理数、全体实数都是不可数集.

全体实数的基数定义为连续基数，记为，则连续基数大于可数集的基数.

四、n-维欧氏空间：

距离，，,则定义

由此，我们可以定义邻域、内点、边界点、聚点以及开集、闭集等概念.

关于直线上的开集、闭集，有下面的构造：

直线上任何一个非空开集可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间（端点不属于这个开集的开区间）的和集．反之，当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间.

直线上任何一个闭集或者是全直线，或者是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得到的集合.

第二讲长度、面积、体积的推广

——测度与可测函数

一、测度与可测集

外测度设为中的任一点集，对于每一列覆盖的开区间，，作出它的体积总和，所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界称为的（勒贝格）外测度，记为.

内测度设为中的任意有界点集，为任一包含盖的开区间，则称为的（勒贝格）内测度，记为.

内外测度分别表示用开区间(立方体)从内部或外部测量的“体积”，由此可得一个度量----测度.

可测集设为中的任意有界点集，若，则称为可测集，并记的测度为.

可测集相当于长度、面积、体积可求的集合，其测度正是这些度量的推广，我们因此严格定义了中一般集合的度量，解决了实变函数论讨论的第一个基本问题.

可测集的基本构造表明，可测与开集或闭集“相差不大”.

二、可测函数

在数学分析中，研究函数的基本出发点是函数的自变量，而勒贝格的研究函数是以函数的值域为基本出发点的.

设是定义在可测集的实函数，如果对于任何有限实数，都是可测集，则称为定义在的可测函数.

1. 可测集上的连续函数是可测函数；

2. 可测函数的四则运算是可测函数；

3. 收敛的可测函数列的极限是可测函数；

简单函数设函数的定义域可以分为有限个互不相交的可测集，，使得在每个上都等于某常数，则称为简单函数.

简单函数可以看成阶梯函数的推广.

可测函数与简单函数的关系：设在上可测，则总可以表示成一列简单函数的极限函数，而且还可以要求.

三、可测函数的构造

鲁津定理I 设是上几乎处处有限的可测函数，则对任意的，存在闭子集，使得在上是连续函数，且.

注解上几乎处处有限的可测函数是“基本上连续”的函数.

鲁津定理II设是上几乎处处有限的可测函数，则对任意的，存在闭子集以及上的依赖于的连续函数，使得在上，且.

注解1此结论可以推广到n-欧氏空间；

注解2此结论说明，上几乎处处有限的可测函数“基本上”也可以看成整个空间上连续函数的一个限制；

注解3鲁津定理的逆命题也成立.

第三讲勒贝格积分与Riemann积分

一、勒贝格积分的定义

完全类似于Riemann积分的定义，通过分划、上和与下和、上积分与下积分等步骤，我们可以定义勒贝格积分.

1.分划设是一个非空可测集，如果，其中各为互不相交的非空可测集，则称有限集合族是的一个可测分划，简称为分划；

2. 上和与下和设是定义在可测集（）上有界函数，对的任一分划，令

则，分别称为关于分划的大和与小和，分别记为及．

3. 上积分与下积分

记

分别称为在上的上、下勒贝格积分；

4. 勒贝格积分如果，则称在上勒贝格可积，且称此共同值为在的勒贝格积分，记为.

二、勒贝格可积函数类

设是中的测度有限的可测集上的有界函数，则在上勒贝格可积的充要条件是在上可测.

因此，对于中的测度有限的可测集上的有界函数，可测等价于勒贝格可积.

三、勒贝格积分与 Riemann积分的关系

设在[a, b]上Riemann可积，则它必同时勒贝格可积，并且两个积分值相等.

四、Riemann可积函数类

函数在区间[a, b]上Riemann可积的充要条件是它的一切不连续点构成一个零测集.

因此，Riemann可积函数也“基本上”和连续函数“差不多”一样，这也完满解决了Riemann可积函数的刻画问题，回答了实变函数论的第二个基本问题.

五、勒贝格控制收敛定理

设

（1）是可测集上的可测函数列；

（2）在上，几乎处处有，且在上可积分（称为所控制，而叫控制函数）；

（3）依测度收敛于；则在上可积分，且有

注解此定理在较弱的条件下，解决了极限与积分运算交换次序的问题，回答实变函数论的第三个基本问题.