《数学分析》（上）复习

本学期我们学习了《数学分析》教材上册的前六章内容，主要学习了函数的概念和基本性质、数列和函数的极限、函数的连续性、函数的导数和微分、微分中值定理及其应用。

第一章实数集与函数

函数是数学的最基本的概念，是数学分析研究的主要对象。本章作为以后各章的基础，介绍了函数的有关概念、运算及其几何性质；作为预备知识，先介绍了实数概念、运算、实数的几类特殊集合、确界及确界原理。

一、主要知识点

1、实数

(1) 实数、有理数、无理数、实数的四则运算、实数的序、传递性、阿基米德性质、稠密性、实数与数轴的一一对应关系。

(2) 绝对值的概念、几何意义、6条基本性质。

(3) 数集

区间、邻域、有界集、上界、下界、界、上确界、下确界；确界原理。

2、函数

(1) 函数的定义及有关概念、四则运算、复合运算、反函数、六种基本初等函数、初等函数、非初等函数；符号函数、狄利克雷函数、黎曼函数；

(2) 函数的几何特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性；这些性质在图形上的反映；

反函数的单调性定理1、2；奇偶函数四则运算性质；函数分解为奇、偶函数之和定理。

二、难点

本章的难点是确界的概念及使用以及确界定理的应用。这些在数学分析中是极为重要的，又是非常难掌握的，希望同学们既要重视它们，也要尽可能理解及掌握它们；但不要急于求成，通过后面知识的学习逐步掌握。

三、重点

函数的有关概念、四则运算、函数的复合与分解、六种基本初等函数的性质及图形、函数的几何性质及其证明。

四、基本要求

1、掌握实数六条基本性质、绝对值概念及其性质、区间与邻域的概念及其表示。

2、理解确界概念、确界原理、能看懂有关证明。

3、理解函数概念及其表示、理解分段函数的概念，掌握求函数定义域及函数值的方法。

4、理解函数的奇偶性、单调性、周期性及有界性，并会判断函数的相应性质。

5、理解、掌握函数的四则运算、复合运算及反函数的概念，能熟练进行函数的四则运算、复合运算及函数的分解。

6、理解并掌握基本初等函数的定义、定义域、值域和图形特点，理解初等函数概念。

五、复习题

P4 <2>.<3>.<4>.<5>;   P9 <1>.<2>;

P15 <4>.<5>.<6>.<7>;  P20 <1>.<3>.<4>.<5>.<6>;

P21 <1>.<2>.<3>.<4>.<11>.

第二章 数列极限

极限是数学中最基本的概念之一，它是由于寻求某些问题的精确解答而产生的。极限概念是研究函数的重要方法和工具，在微积分学中占有重要的地位。后面我们将会看到，微分学和积分学中的一些基本概念，是通过极限概念给出的，一些基本性质和法则、定理也是通过极限的方法推导出来的。从某种角度来说，本课程讨论的所有问题，最终几乎都可归结为极限问题。

本章学习特殊函数——数列的极限。

一、主要知识点

1、数列极限概念

数列、通项、数列极限的定义、数列的收敛与发散、无穷小数列、子列、单调数列、有界数列、柯西列（基本列）。

2、收敛数列的性质

(1) 唯一性、有界性、保号性、保不等式性（保序性）、迫敛性、四则运算、数列与子列收敛关系定理；

(2) 重要极限：

3、数列极限存在的条件

单调有界定理、柯西收敛准则。

二、难点

本章的难点是数列极限的定义和柯西收敛准则；难就难在它们的思想、的作用、关系及如何选取上。如同确界概念，同学们一方面要重视它们，尽可能地理解、掌握它们，但也不要急于求成，可以通过后面知识的学习逐步领会、掌握它们。

要注意的是：极限的定义只能用来验证某数是否是数列的极限，而无法用来求极限；柯西收敛准则及其逆否形式，可以仅根据数列本身，而无需数列以外的数来判断数列收敛与发散。

三、重点

利用极限的四则运算、迫敛定理、单调有界准则及重要极限等来求解数列极限。

四、基本要求

1、了解数列极限定义及其使用；

2、掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性及其简单应用；

3、掌握迫敛定理及数列极限的四则运算法则，能熟练应用它们求解数列极限；

4、会求三种简单的未定式极限；

5、会用迫敛定理求解某些项数与n有关的和式的极限；

6、会利用重要极限求某些型数列极限；

7、会用单调有界定理求解由归纳式给出的数列的极限；

8、理解柯西收敛准则，会用准则或其逆否形式判断某些简单数列的收敛或发散。

9、理解数列与其子列收敛关系及其应用。

五、复习题

P27 <2>－②③.<3>; P33 <1>.<4>.<5>.<6>;

P38 <1>.<3>.<5>.

第三章 函数极限

本章将上一章数列极限的概念推广到一般函数极限，共有两大类六种情况；随后学习了函数极限的性质、极限存在的条件、两个重要极限、无穷小量与无穷大量。

一、主要知识点

1、函数极限概念

左(右)极限；无穷小量、无穷小量的阶、非正常极限、无穷大量；渐进线。

2、函数极限的性质

唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算、函数极限与左、右极限关系。

3、函数极限存在条件

归结原则、单调有界定理、柯西收敛准则。

4、无穷小量与无穷大量

无穷小量的运算性质、等价因子代换定理，无穷小量与无穷大量的关系定理。

5、渐近线的求解

二、难点

函数极限的定义及应用，柯西收敛准则、归结原则是本章的难点，我们应该通过本章的学习及以后的学习，逐步理解、掌握它们。

归结原则类似于数列的极限与其子列极限关系定理，或者说前者是后者的推广和一般化。

归结原则的逆否形式、柯西收敛准则的逆否形式常用来判断函数极限不存在。

三、重点

利用极限的四则运算、迫敛定理、两个重要极限、等价因子代换定理、函数极限与左右极限关系定理求函数、分段函数的极限。

四、基本要求

1、理解函数极限（两类六种）的定义及使用；

2、理解函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性及应用；

3、理解、掌握迫敛性定理、函数极限的四则运算，会利用它们求解函数极限；

4、理解归结原则、单调有界定理、柯西收敛准则及归结原则和柯西收敛准则的逆否形式，会用它们判断某些简单函数极限的不存在；

5、理解、掌握两个重要极限，能利用它们求解极限；

6、理解无穷小量及阶的概念，会比较某些无穷小量的阶；理解非正常极限，无穷大量的概念，无穷大量与无穷小量的关系定理；

7、记住时三组等价无穷小量，会利用等价因子代换定理求解极限；

8、理解曲线渐近线的概念，会求曲线渐近线方程。

五、复习题

P47 <1>－①②.<2>.<4>.<6>;

P51 <1>.<2>.<4>;     P55 <3>;

P47 <1>.<2>.<3>;     P66 <2>.<4>.<5>

P67 <2>.

第四章 函数的连续性

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数；在几何上，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。连续概念是现实世界中许多客观现象在数学上的反映，比如植物的生长、汽车速度的变化、气温的变化、金属丝的热胀冷缩等。

本章我们在极限概念的基础上，讨论了函数的连续与间断、连续函数的性质、初等函数的连续性，并利用函数的连续性求函数的极限。

一、主要知识点

1、函数连续概念

函数在一点的连续定义；左、右连续；在区间上的连续、间断点及其分类；分段连续、一致连续；最大值、最小值；

2、连续函数的性质

连续函数的局部性质（局部有界性、局部保号性）、连续函数的整体性质（最值定理、有界性定理、介值定理、根的存在定理、一致连续定理）、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性、连续与左(右)连续关系定理、初等函数的连续性。

二、难点

闭区间上连续函数的性质定理（最值定理、有界定理、介值定理、根的存在定理）的应用是个难点；一致连续的概念，判断及应用是另一个难点。但前一个难点应通过适当的例题、习题尽快掌握；后一个难点可以结合今后的学习逐步掌握。

三、重点

连续函数的局部性质、闭区间上连续函数的性质定理及应用。

四、基本要求

1、掌握函数连续的定义（增量形式定义、极限形式定义、）、左(右)连续定义、连续与左(右)连续关系定理，会判断函数的连续性及分段函数在分段点的连续性；

2、掌握间断点概念及其分类，会求函数的间断点及分类；

3、掌握连续函数的局部性质、四则运算、复合运算；

4、掌握闭区间上连续函数的性质，能利用它们证明某些等式、不等式和判断方程的根的存在性；

5、理解反函数的连续性；理解一致连续性概念及定理；

6、掌握初等函数的连续性，并会用函数的连续性求极限。

五、复习题

P73 <1>.<2>.<3>.<4>;

P81 <1>.<6>.<8>.<9>.<10>;

P84 <1>.

第五章 导数和微分

本章我们利用极限概念，研究函数变化快慢情况，从而导出了导数概念，这是一个有深刻实际背景的数学概念（曲线切线斜率、变速运动物体的速度、加速度等）。在这一章我们学习了导数的定义及各种求导法则、反函数的求导、复合函数求导法、高阶导数，最后又讨论了与导数密切关联的另一个概念­——微分。

一、主要知识点
1、概念
导数定义、左（右）导数、导函数、极值、极值点、稳定点（驻点）、高阶导数、微分；
2、求导公式
    基本导数表、导数的四则运算公式、反函数的求导公式、复合函数求导法（链导法）、对数求导法、某些基本初等函数的n阶导数公式、乘积的n阶求导公式（莱布尼兹公式）、参数方程的求导公式、微分的四则运算及复合运算公式。
3、主要结果
    有限增量公式，导数与左（右）导数的关系定理，费马定理，可导、可微与连续的关系，一阶微分形式的不变性，曲线的切线方程和法线方程。
二、重点

求初等函数的导数、微分及分段函数在分段点的导数、用导数定义求极限、求曲线的切线方程和法线方程。

三、基本要求

1、理解、掌握导数的定义式，并会用它求函数在一点的导数及求函数的极限；

2、理解、掌握单侧导数概念、导数与单侧导数的关系定理，会求分段函数在分段点的导数；

3、理解导函数概念及与导数的关系；

4、熟记基本导数表、导数的四则运算公式、反函数求导公式、复合函数的链导法、对数求导法、参数方程求导法，能用它们熟练求出函数的导数；

5、理解高阶导数概念、会求函数的二阶导数；

6、掌握微分概念和微分运算法则、一阶微分形式不变性，并会用它们求函数的微分；

7、理解、掌握函数可导、可微与连续的关系；

8、理解、掌握函数极值的概念及取得极值的必要条件（费马定理）；

9、理解、掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程和法线方程。

四、复习题

P94 <3>.<4>.<5>.<6>.<7>.<9>;

P102 <1>.<2>.<3>.<4>;      P105 <1>.<2>.<3>;

P109 <1>.<2>.<3>.<4>.<6>;  P116 <2>;

P117 <4>.

第六章 微分中值定理及其应用

导数是研究函数变化的强有力的工具，在这一章里我们利用导数的已知性质来推断函数的性质。在这方面起着重要作用的是微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），在这些基础上，我们利用、讨论了函数的单调性、凹凸性、极值与最值、以及不定式极限。

一、主要知识点

1、概念

极值点、最值点、稳定点（驻点）、凸函数、凹函数、拐点；

2、微分中值定理

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理；

3、其它重要结论

函数为常数的充要条件定理、导数极限定理、函数单调充要条件、不定式极限定理、洛必达法则、极值必要条件（费马定理）、极值充分条件（Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ）、最值的判断、函数凹凸充要条件、詹森不等式、拐点必要条件、拐点充分条件以及函数图象的描绘。

二、难点

微分中值定理的应用是个难点。微分中值有广泛的应用，可以证明等式、不等式；但是何时使用，如何使用对于初学者往往颇感棘手。一般地，凡是问题最终归结到寻求某个特殊点的存在，又涉及到函数导数的，应想到使用微分中值定理；使用时，一般需将所有证明的等式或不等式进行整理，设出一个适当的函数来。

三、重点

罗尔定理、拉格朗日定理及应用；函数单调性判断；不定式极限（洛必达法则）；极值、最值的求解；函数凸性判断及拐点的寻求；图象的描绘。

四、基本要求

1、理解、掌握罗尔定理、拉格朗日定理，能够验证具体函数是否满足定理的条件和结论，能够用来证明某些简单的等式和不等式；

2、了解柯西中值定理及简单应用；了解泰勒中值定理及在求极限中的简单应用；

3、能熟练判断函数的单调性，求解函数的单调区间及证明不等式；

4、理解、掌握洛必达法则，能熟练求解不定式的极限

5、理解、掌握极值的必要条件，充分条件（三个），能利用它们求解函数的极值、最值；利用最值证明不等式；

6、理解、掌握函数凹凸的条件，能利用它们求出函数的凹凸区间及拐点；

7、能利用导数讨论函数的图象，作出较为精确的图形。

五、复习题

P124 <1>.<2>.<4>.<5>.<6>.<7>;

P132 <2>.<3>.<5>;

P146 <1>.<4>.<5>;

P153 <1>;

P155 <1>.<2>.