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第一章 实数集与函数 |
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第一节 实数与数集 |
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第二节 实数、数集与确界原理 |
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第三节 函数概念(一) |
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第三节 函数概念(二) |
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第四节 具有某些特性的函数(一) |
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第四节 具有某些特性的函数(二) |
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第五节 习题课(一) |
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第五节 习题课(二) |
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第二章 数列极限 |
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第一节 数列极限概念 |
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第二节 收敛数列的性质(一) |
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第二节 收敛数列的性质(二) |
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第三节 数列极限存在的条件 |
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第四节 习题课(一) |
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第四节 习题课(二) |
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第三章 函数极限 |
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第一节 函数极限概念(一) |
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第一节 函数极限概念(二) |
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第二节 函数极限的性质(一) |
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第二节 函数极限的性质(二) |
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第三节 函数极限存在的条件 |
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第四节 两个重要极限 |
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第五节 无穷小量与无穷大量(一) |
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第五节 无穷小量与无穷大量(二) |
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第六节 习题课(一) |
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第六节 习题课(二) |
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第四章 函数的连续性 |
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第一节 连续性概念(一) |
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第一节 连续性概念(二) |
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第二节 连续函数的性质(一) |
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第二节 连续函数的性质(二) |
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第三节 初等函数的连续性 |
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第四节 习题课(一) |
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第四节 习题课(二) |
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第五章 导数和微分 |
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第一节 导数的概念(一) |
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第一节 导数的概念(二) |
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第二节 求导法则(一) |
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第二节 求导法则(二) |
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第二节 求导法则(三) |
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第三节 参变量函数的导数 |
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第四节 高阶导数 |
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第五节 微分 |
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第六节 习题课(一) |
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第六节 习题课(二) |
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第六章 微分中值定理及其应用 |
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第一节 拉格朗日定理和函数的单调性(一) |
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第一节 拉格朗日定理和函数的单调性(二) |
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第一节 拉格朗日定理和函数的单调性(三) |
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第二节 柯西中值定理和不定式极限(一) |
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第二节 柯西中值定理和不定式极限(二) |
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第二节 柯西中值定理和不定式极限(三) |
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第二节 柯西中值定理和不定式极限(四) |
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第三节 泰勒公式(一) |
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第三节 泰勒公式(二) |
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第四节 函数的极值与最值(一) |
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第四节 函数的极值与最值(二) |
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第五节 函数的凸性与拐点(一) |
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第五节 函数的凸性与拐点(二) |
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第五节 函数的凸性与拐点(三) |
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第六节 函数图象的讨论 |
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第七节 习题课(一) |
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第七节 习题课(二) |
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第七节 习题课(三) |
学习指南 |
《数学分析》(上)复习 本学期我们学习了《数学分析》教材上册的前六章内容,主要学习了函数的概念和基本性质、数列和函数的极限、函数的连续性、函数的导数和微分、微分中值定理及其应用。 第一章实数集与函数 函数是数学的最基本的概念,是数学分析研究的主要对象。本章作为以后各章的基础,介绍了函数的有关概念、运算及其几何性质;作为预备知识,先介绍了实数概念、运算、实数的几类特殊集合、确界及确界原理。 一、主要知识点 1、实数 (1) 实数、有理数、无理数、实数的四则运算、实数的序、传递性、阿基米德性质、稠密性、实数与数轴的一一对应关系。 (2) 绝对值的概念、几何意义、6条基本性质。 (3) 数集 区间、邻域、有界集、上界、下界、界、上确界、下确界;确界原理。 2、函数 (1) 函数的定义及有关概念、四则运算、复合运算、反函数、六种基本初等函数、初等函数、非初等函数;符号函数、狄利克雷函数、黎曼函数; (2) 函数的几何特性:有界性、单调性、奇偶性、周期性;这些性质在图形上的反映; 反函数的单调性定理1、2;奇偶函数四则运算性质;函数分解为奇、偶函数之和定理。 二、难点 本章的难点是确界的概念及使用以及确界定理的应用。这些在数学分析中是极为重要的,又是非常难掌握的,希望同学们既要重视它们,也要尽可能理解及掌握它们;但不要急于求成,通过后面知识的学习逐步掌握。 三、重点 函数的有关概念、四则运算、函数的复合与分解、六种基本初等函数的性质及图形、函数的几何性质及其证明。 四、基本要求 1、掌握实数六条基本性质、绝对值概念及其性质、区间与邻域的概念及其表示。 2、理解确界概念、确界原理、能看懂有关证明。 3、理解函数概念及其表示、理解分段函数的概念,掌握求函数定义域及函数值的方法。 4、理解函数的奇偶性、单调性、周期性及有界性,并会判断函数的相应性质。 5、理解、掌握函数的四则运算、复合运算及反函数的概念,能熟练进行函数的四则运算、复合运算及函数的分解。 6、理解并掌握基本初等函数的定义、定义域、值域和图形特点,理解初等函数概念。 五、复习题 P4 <2>.<3>.<4>.<5>; P9 <1>.<2>; P15 <4>.<5>.<6>.<7>; P20 <1>.<3>.<4>.<5>.<6>; P21 <1>.<2>.<3>.<4>.<11>. 第二章 数列极限 极限是数学中最基本的概念之一,它是由于寻求某些问题的精确解答而产生的。极限概念是研究函数的重要方法和工具,在微积分学中占有重要的地位。后面我们将会看到,微分学和积分学中的一些基本概念,是通过极限概念给出的,一些基本性质和法则、定理也是通过极限的方法推导出来的。从某种角度来说,本课程讨论的所有问题,最终几乎都可归结为极限问题。 本章学习特殊函数——数列的极限。 一、主要知识点 1、数列极限概念 数列、通项、数列极限的 2、收敛数列的性质 (1) 唯一性、有界性、保号性、保不等式性(保序性)、迫敛性、四则运算、数列与子列收敛关系定理; (2) 重要极限: 3、数列极限存在的条件 单调有界定理、柯西收敛准则。 二、难点 本章的难点是数列极限的 要注意的是:极限的定义只能用来验证某数是否是数列的极限,而无法用来求极限;柯西收敛准则及其逆否形式,可以仅根据数列本身,而无需数列以外的数来判断数列收敛与发散。 三、重点 利用极限的四则运算、迫敛定理、单调有界准则及重要极限等来求解数列极限。 四、基本要求 1、了解数列极限 2、掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性及其简单应用; 3、掌握迫敛定理及数列极限的四则运算法则,能熟练应用它们求解数列极限; 4、会求三种简单的未定式极限 5、会用迫敛定理求解某些项数与n有关的和式的极限; 6、会利用重要极限 7、会用单调有界定理求解由归纳式给出的数列的极限; 8、理解柯西收敛准则,会用准则或其逆否形式判断某些简单数列的收敛或发散。 9、理解数列与其子列收敛关系及其应用。 五、复习题 P27 <2>-②③.<3>; P33 <1>.<4>.<5>.<6>; P38 <1>.<3>.<5>. 第三章 函数极限 本章将上一章数列极限的概念推广到一般函数极限,共有两大类六种情况;随后学习了函数极限的性质、极限存在的条件、两个重要极限、无穷小量与无穷大量。 一、主要知识点 1、函数极限概念
2、函数极限的性质 唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算、函数极限与左、右极限关系。 3、函数极限存在条件 归结原则、单调有界定理、柯西收敛准则。 4、无穷小量与无穷大量 无穷小量的运算性质、等价因子代换定理,无穷小量与无穷大量的关系定理。 5、渐近线的求解 二、难点 函数极限的定义及应用,柯西收敛准则、归结原则是本章的难点,我们应该通过本章的学习及以后的学习,逐步理解、掌握它们。 归结原则类似于数列的极限与其子列极限关系定理,或者说前者是后者的推广和一般化。 归结原则的逆否形式、柯西收敛准则的逆否形式常用来判断函数极限不存在。 三、重点 利用极限的四则运算、迫敛定理、两个重要极限、等价因子代换定理、函数极限与左右极限关系定理求函数、分段函数的极限。 四、基本要求 1、理解函数极限(两类六种)的定义及使用; 2、理解函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性及应用; 3、理解、掌握迫敛性定理、函数极限的四则运算,会利用它们求解函数极限; 4、理解归结原则、单调有界定理、柯西收敛准则及归结原则和柯西收敛准则的逆否形式,会用它们判断某些简单函数极限的不存在; 5、理解、掌握两个重要极限,能利用它们求解极限; 6、理解无穷小量及阶的概念,会比较某些无穷小量的阶;理解非正常极限,无穷大量的概念,无穷大量与无穷小量的关系定理; 7、记住 8、理解曲线渐近线的概念,会求曲线渐近线方程。 五、复习题 P47 <1>-①②.<2>.<4>.<6>; P51 <1>.<2>.<4>; P55 <3>; P47 <1>.<2>.<3>; P66 <2>.<4>.<5> P67 <2>. 第四章 函数的连续性 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数;在几何上,连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。连续概念是现实世界中许多客观现象在数学上的反映,比如植物的生长、汽车速度的变化、气温的变化、金属丝的热胀冷缩等。 本章我们在极限概念的基础上,讨论了函数的连续与间断、连续函数的性质、初等函数的连续性,并利用函数的连续性求函数的极限。 一、主要知识点 1、函数连续概念 函数在一点的连续定义;左、右连续;在区间上的连续、间断点及其分类;分段连续、一致连续;最大值、最小值; 2、连续函数的性质 连续函数的局部性质(局部有界性、局部保号性)、连续函数的整体性质(最值定理、有界性定理、介值定理、根的存在定理、一致连续定理)、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性、连续与左(右)连续关系定理、初等函数的连续性。
二、难点 闭区间上连续函数的性质定理(最值定理、有界定理、介值定理、根的存在定理)的应用是个难点;一致连续的概念,判断及应用是另一个难点。但前一个难点应通过适当的例题、习题尽快掌握;后一个难点可以结合今后的学习逐步掌握。 三、重点 连续函数的局部性质、闭区间上连续函数的性质定理及应用。 四、基本要求 1、掌握函数连续的定义(增量形式定义、极限形式定义、 2、掌握间断点概念及其分类,会求函数的间断点及分类; 3、掌握连续函数的局部性质、四则运算、复合运算; 4、掌握闭区间上连续函数的性质,能利用它们证明某些等式、不等式和判断方程的根的存在性; 5、理解反函数的连续性;理解一致连续性概念及定理; 6、掌握初等函数的连续性,并会用函数的连续性求极限。 五、复习题 P73 <1>.<2>.<3>.<4>; P81 <1>.<6>.<8>.<9>.<10>; P84 <1>. 第五章 导数和微分 本章我们利用极限概念,研究函数变化快慢情况,从而导出了导数概念,这是一个有深刻实际背景的数学概念(曲线切线斜率、变速运动物体的速度、加速度等)。在这一章我们学习了导数的定义及各种求导法则、反函数的求导、复合函数求导法、高阶导数,最后又讨论了与导数密切关联的另一个概念——微分。 一、主要知识点 求初等函数的导数、微分及分段函数在分段点的导数、用导数定义求极限、求曲线的切线方程和法线方程。 三、基本要求 1、理解、掌握导数的定义式,并会用它求函数在一点的导数及求函数的极限; 2、理解、掌握单侧导数概念、导数与单侧导数的关系定理,会求分段函数在分段点的导数; 3、理解导函数概念及与导数的关系; 4、熟记基本导数表、导数的四则运算公式、反函数求导公式、复合函数的链导法、对数求导法、参数方程求导法,能用它们熟练求出函数的导数; 5、理解高阶导数概念、会求函数的二阶导数; 6、掌握微分概念和微分运算法则、一阶微分形式不变性,并会用它们求函数的微分; 7、理解、掌握函数可导、可微与连续的关系; 8、理解、掌握函数极值的概念及取得极值的必要条件(费马定理); 9、理解、掌握导数的几何意义,会求曲线的切线方程和法线方程。 四、复习题 P94 <3>.<4>.<5>.<6>.<7>.<9>; P102 <1>.<2>.<3>.<4>; P105 <1>.<2>.<3>; P109 <1>.<2>.<3>.<4>.<6>; P116 <2>; P117 <4>. 第六章 微分中值定理及其应用 导数是研究函数变化的强有力的工具,在这一章里我们利用导数 一、主要知识点 1、概念 极值点、最值点、稳定点(驻点)、凸函数、凹函数、拐点; 2、微分中值定理 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理; 3、其它重要结论 函数为常数的充要条件定理、导数极限定理、函数单调充要条件、不定式极限定理、洛必达法则、极值必要条件(费马定理)、极值充分条件(Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ)、最值的判断、函数凹凸充要条件、詹森不等式、拐点必要条件、拐点充分条件以及函数图象的描绘。 二、难点 微分中值定理的应用是个难点。微分中值有广泛的应用,可以证明等式、不等式;但是何时使用,如何使用对于初学者往往颇感棘手。一般地,凡是问题最终归结到寻求某个特殊点的存在,又涉及到函数导数的,应想到使用微分中值定理;使用时,一般需将所有证明的等式或不等式进行整理,设出一个适当的函数来。 三、重点 罗尔定理、拉格朗日定理及应用;函数单调性判断;不定式极限(洛必达法则);极值、最值的求解;函数凸性判断及拐点的寻求;图象的描绘。 四、基本要求 1、理解、掌握罗尔定理、拉格朗日定理,能够验证具体函数是否满足定理的条件和结论,能够用来证明某些简单的等式和不等式; 2、了解柯西中值定理及简单应用;了解泰勒中值定理及在求极限中的简单应用; 3、能熟练判断函数的单调性,求解函数的单调区间及证明不等式; 4、理解、掌握洛必达法则,能熟练求解不定式的极限 5、理解、掌握极值的必要条件,充分条件(三个),能利用它们求解函数的极值、最值;利用最值证明不等式; 6、理解、掌握函数凹凸的条件,能利用它们求出函数的凹凸区间及拐点; 7、能利用导数讨论函数的图象,作出较为精确的图形。 五、复习题 P124 <1>.<2>.<4>.<5>.<6>.<7>; P132 <2>.<3>.<5>; P146 <1>.<4>.<5>; P153 <1>; P155 <1>.<2>.
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由于数学分析含有的高度抽象思维的特征与技巧,它与初等数学思维习惯的天壤之别,使得初学者颇感头疼,极不适应。我们建议:
1.尽快摆脱中学的思维定式,要逐步地、尽快地习惯数学分析的概念多、定理多的特点。... [详细介绍]
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